Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1e (3 BE)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der x-Achse.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1e

Verlauf der Funktion

Für alle

x

gilt:

F (x) = 4 x - 4 \cdot \ln (e^{x} + 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Es gilt für alle

x

e^{x} < e^{x} + 1

Da die Funktion

g (x) = \ln x

auf ihrem Definitionsbereich streng monoton steigend ist folgt daraus:

g (e^{x}) < g (e^{x} + 1)

\ln (e^{x}) < \ln (e^{x} + 1)

- l n (e^{x}) > - \ln (e^{x} + 1)

F (x) < 4 x - 4 \cdot \ln (e^{x}) = 4 x - 4 x = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, gilt:

\ln (e^{x}) = x

\Rightarrow

Somit ist die Aussage richtig.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Funktion läuft unterhalb der

x -

Achse, da für alle

x

gilt:

g (x) < 0

\Rightarrow

Somit verläuft der Graph der Funktion unterhalb der

x -

Achse.

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Verlauf der Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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