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Abitur 2024 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ 8 x 3 + 3 x mit der Ableitungsfunktion f ′ .
Berechnen Sie f ′ ( 1 ) .

Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion F von f , deren Graph durch den Punkt ( - 1 | 5 ) verläuft.

Die Abbildung zeigt den Graphen G g der in ℝ definierten Funktion g mit g ( x ) = 2 ⋅ sin ( 1 2 x ) .

Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals ∫ - 2 8 g ( x )  dx negativ ist.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:
Die Tangente an G g im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte ( - 1 | - 1 ) und ( 1 | 1 ) .

Betrachtet wird die Schar der in ℝ definierten Funktionen f a mit f a ( x ) = x ⋅ e a x und a ∈ ℝ ∖ { 0 } . Für jeden Wert von a besitzt die Funktion f a genau eine Extremstelle.
Begründen Sie, dass der Graph von f a für x < 0 unterhalb der x-Achse verläuft.

Die abgebildeten Graphen I und II sind Graphen der Schar; einer der beiden gehört zu einem positiven Wert von a . Entscheiden Sie, welcher Graph dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Geben Sie einen Term einer in ℝ definierten Funktion g an, die den Wertebereich [ - 2 ; 4 ] hat.

Geben Sie einen Term einer in ℝ definierten Funktion h an, sodass der Term h ( x ) genau für x ∈ [ - 2 ; 4 ] definiert ist. Erläutern Sie die Ihrer Angabe zugrunde liegenden Überlegungen.

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen G der in ℝ ∖ { - 3 } definierten Funktion f mit f ( x ) = x - 3 + 5 x + 3 . G hat genau einen Tiefpunkt T .

Die Geraden mit den Gleichungen x = - 3 und y = x - 3 haben eine besondere Bedeutung für G . Zeichnen Sie die beiden Geraden in die Abbildung ein und geben Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G mit der y-Achse. Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von f , dass G für x > - 3 oberhalb der Gerade mit der Gleichung y = x - 3 verläuft.

Weisen Sie nach, dass f ( x ) = x 2 - 4 x + 3 gilt, indem Sie den Term x - 3 + 5 x + 3 geeignet umformen, und begründen Sie, dass f genau die Nullstellen -2 und 2 hat.

Ermitteln Sie rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion f ′ von f und berechnen Sie die x-Koordinate von T .

Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral ∫ - 2 2 f ( x )  dx .

Betrachtet wird die in ] - 3 ; + ∞ [ definierte Integralfunktion J : x ↦ ∫ - 2 x f ( t )  dt .
Begründen Sie, dass die in ] - 3 ; + ∞ [ definierte Funktion F : x ↦ 1 2 x 2 - 3 x + 5 ⋅ ln ( x + 3 ) für x > - 3 eine Stammfunktion von f ist.
Zeigen Sie damit, dass lim x → - 3 J ( x ) = - ∞ gilt, und deuten Sie diese Aussage geometrisch.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass J mindestens zwei Nullstellen besitzt.

Betrachtet wird die Schar der in ℝ ∖ { - 3 } definierten Funktionen f k : x ↦ x 2 - k x + 3 mit k ∈ ℝ ∖ { 9 } . Der Graph von f k wird mit G k bezeichnet. Die Funktion f aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion f 4 dieser Schar.
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von f k in Abhängigkeit von k an und begründen Sie, dass die Funktion f 0 der Schar eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

Für die erste Ableitungsfunktion von f k gilt f k ′ ( x ) = x 2 + 6 x + k ( x + 3 ) 2 .
Begründen Sie, dass G k für k > 9 keine Extrempunkte besitzt.

Die Tangente an G k im Punkt ( 0 | f k ( 0 ) ) wird mit t k bezeichnet.
Zeigen Sie, dass t k die Steigung k 9 hat, und bestimmen Sie denjenigen Wert von k , für den t k senkrecht zur Gerade mit der Gleichung y = x - 3 steht.

Geben Sie eine Gleichung von t k an und beurteilen Sie folgende Aussage:
Es gibt einen Punkt, der für alle k ∈ ℝ ∖ { 9 } auf t k liegt.

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