Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5.2 (5 BE)

Berechnen Sie

r

so, dass das Volumen der Trommel den größten Wert (und damit die Trommel den tiefsten Ton) annimmt.

Lösung zu Teilaufgabe 5.2

Extremwertaufgabe

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

V (r) = π (1200 r - r^{3})

𝔻_{r} = [12; 30]

Erste Ableitung bilden:

V^{'} (r) = π (1200 - 3 r^{2})

𝔻_{r^{'}} =] 12; 30 [

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

V^{'} (r) = 0

π (1200 - 3 r^{2}) = 0

1200 - 3 r^{2} = 0

- 3 r^{2} = - 1200

r^{2} = 400

r = \pm 20

\Rightarrow

r = 20

, da negative Lösung nicht in

𝔻_{r}

enthalten.

Untersuchen ob

r = 20

ein absolutes Maximum ist:

V^{''} (r) = - 6 π r

𝔻_{r^{''}} =] 12; 30 [

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum).

V^{''} (20) = - 120 π < 0

\Rightarrow

r = 20

ist relatives Maximum

V (20) = π (1200 \cdot 20 - 20^{3}) \approx 50265, 48

Schritt einblenden / ausblenden

Randbetrachtung

Bei Extremwertaufgaben ist der Definitionsbereich einer Funktion oft aufgrund realer Bedingungen eingeschränkt.

Die Funktionswerte können an den Rändern des Definitionsbereichs größer sein als das relative Maximum. Dies muss überprüft werden.

Beispiel:

Diese Funktion hat zwar ein relatives Maximum im Punkt

H O P (1 | 4)

, dies ist jedoch nicht der größte Wert, den die Funktion im gesamten Definitionsbereich annehmen kann.
Bei

(5 | 6)

gibt es am Rand des Definitionsbereichs damit noch einen größeren Wert. Dies wäre dann hier das globale Maximum.

Randbetrachtung:

V (12) \approx 39810, 26 < 50265, 48

V (30) \approx 28274, 33 < 50265, 48

\Rightarrow

r_{m a x} = 20

ist absolutes Maximum

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Extremwertaufgabe

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