Abitur 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

Teilaufgabe 1 (5 BE)

Von der ganzrationalen Funktion

f : x \mapsto f (x)

D_{f} = ℝ

dritten Grades ist die zweite Ableitung

f^{''} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}

gegeben.
Der Graph

G_{f}

schneidet die

x

-Achse an der Stelle

x_{1} = - 1

und die

y

-Achse im Punkt

P (0 ∣ \frac{5}{4})

.
Bestimmen Sie den Funktionsterm

f (x)

Gegeben sind die Funktionen

g_{a} : x \mapsto \frac{1}{4} (x + 1) (x^{2} - 10 x + a)

mit

D_{g_{a}} = ℝ

und

a \in ℝ

und

a > 0

Teilaufgabe 2.1 (3 BE)

Zeigen Sie, dass sich

g_{a} (x)

auch in der Form

g_{a} (x) = \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + a x - 10 x + a)

darstellen lässt und dass für

a = 5

gilt:

g_{5} (x) = f (x)

mit der Funktion

f

aus Teilaufgabe 1.

Teilaufgabe 2.2 (6 BE)

Berechnen Sie, für welche Werte von

a

der Graph der Funktion

g_{a}

keinen Extrempunkt besitzt.

Für die folgenden Teilaufgaben ist

a = 25

mit

g_{25} (x) = \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25)

Teilaufgabe 2.3 (3 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion

g_{25}

Teilaufgabe 2.4 (6 BE)

Ermitteln Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion

g_{25}

Teilaufgabe 2.5 (4 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion

g_{25}

rechts- bzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten seines Wendepunktes.

Teilaufgabe 2.6 (5 BE)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion

g_{25}

im Bereich

- 1 \leq x \leq 7

mit Hilfe vorliegender Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen:

1 LE = 1 cm

Gegeben ist weiter die Funktion

p : x \mapsto \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5)

mit

D_{p} = ℝ

Teilaufgabe 3.1 (7 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen

g_{25}

und

p

Teilaufgabe 3.2 (3 BE)

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion

p

im Bereich

0 \leq x \leq 10

in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Teilaufgabe 3.3 (5 BE)

Die Graphen der Funktionen

g_{25}

und

p

schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des weiter links liegenden Flächenstücks.

Teilaufgabe 4 (4 BE)

Gegeben ist nun die Funktion

h : x \mapsto {\begin{matrix} g_{25} (x) & für & x \leq 5 \\ p (x) & für & x > 5 \end{matrix}

Die Funktion

h

ist stetig bei

x_{0} = 5

(Nachweis nicht erforderlich!). Untersuchen Sie, ob

h

an der Stelle

x_{0} = 5

differenzierbar ist.

Eine zylinderförmige Trommel (siehe Skizze) besitzt die Gesamtoberfläche

2400 \cdot π {cm}^{2}

. Der Klang der Trommel hängt auch von der Oberfläche und dem Volumen ab. Die Boden- und Deckfläche der Trommel sind mit Fell bespannt. Durch die erhältlichen Fellgrößen ergibt sich, dass ein Radius

r

von

12 cm

bis

30 cm

möglich ist.

Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch.

Teilaufgabe 5.1 (4 BE)

Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen

V (r)

der Trommel in Abhängigkeit von

r

auf.
[Ergebnis:

V (r) = π \cdot (1200 r - r^{3})

]

Teilaufgabe 5.2 (5 BE)

Berechnen Sie

r

so, dass das Volumen der Trommel den größten Wert (und damit die Trommel den tiefsten Ton) annimmt.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 2.3

Teilaufgabe 2.4

Teilaufgabe 2.5

Teilaufgabe 2.6

Teilaufgabe 3.1

Teilaufgabe 3.2

Teilaufgabe 3.3

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

Lösung als Video:

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