Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (6 BE)

Berechnen Sie, für welche Werte von

a

der Graph der Funktion

g_{a}

keinen Extrempunkt besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Parameterwerte ermitteln

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g_{a} (x) = \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + a x - 10 x + a)

Erste Ableitung bilden:

g_{a}^{'} (x) = \frac{1}{4} (3 x^{2} - 18 x + a - 10)

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

g_{a}^{'} (x) = 0

\frac{1}{4} (3 x^{2} - 18 x + a - 10) = 0

3 x^{2} - 18 x + a - 10 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Diskriminante

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante

D

D = b^{2} - 4 a c

Man unterscheidet drei Fälle:

Die Diskriminante ist negativ: $D < 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat keine Lösung

Die Diskriminante ist Null: $D = 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau eine Lösung

Die Diskriminante ist positiv: $D > 0$
$\Rightarrow$ Die Gleichung hat genau zwei Lösungen

Ist nach der Anzahl der Lösungen gefragt, dann untersucht man das Vorzeichen der Diskriminante.

Ermitteln der Diskriminante:

D = (- 18)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (a - 10)

= 444 - 12 a

Diskriminante kleiner gleich Null setzen:

D \leq 0

444 - 12 a \leq 0

- 12 a \leq - 444

a \geq 37

Für

a \geq 37

hat der Graph von

g_{a}

keine Extrempunkte.

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