Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.4 (6 BE)

Ermitteln Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion

g_{25}

Lösung zu Teilaufgabe 2.4

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g_{25} (x) = \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25)

Erste Ableitung bilden:

g_{25}^{'} (x) = \frac{1}{4} (3 x^{2} - 18 x + 15)

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

g_{25}^{'} (x) = 0

3 x^{2} - 18 x + 15 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 18) \pm \sqrt{(- 18)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}

= \frac{18 \pm 12}{6}

x_{1}^{E} = \frac{18 + 12}{6} = 5

x_{2}^{E} = \frac{18 - 12}{6} = 1

y

-Werte an den Extremstellen ermitteln:

g_{25} (x_{1}^{E}) = \frac{1}{4} (5^{3} - 9 \cdot 5^{2} + 15 \cdot 5 + 25) = 0

\Rightarrow

E_{1} (5 | 0)

g_{25} (x_{2}^{E}) = \frac{1}{4} (1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 + 25) = 8

\Rightarrow

E_{2} (1 | 8)

Art von Extrempunkten ermitteln

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Zweite Ableitung bilden:

g_{25}^{''} (x) = \frac{1}{4} (6 x - 18)

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum)

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum)

g_{25}^{''} (5) = \frac{1}{4} (6 \cdot 5 - 18) = 3 > 0

\Rightarrow

Tiefpunkt

T I P (5 | 0)

g_{25}^{''} (1) = \frac{1}{4} (6 \cdot 1 - 18) = - 3 < 0

\Rightarrow

Hochpunkt

H O P (1 | 8)

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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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