Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4 (4 BE)

Gegeben ist nun die Funktion

h : x \mapsto {\begin{matrix} g_{25} (x) & für & x \leq 5 \\ p (x) & für & x > 5 \end{matrix}

Die Funktion

h

ist stetig bei

x_{0} = 5

(Nachweis nicht erforderlich!). Untersuchen Sie, ob

h

an der Stelle

x_{0} = 5

differenzierbar ist.

Lösung zu Teilaufgabe 4

Differenzierbarkeit einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

h (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25) & für & x \leq 5 \\ \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5) & für & x > 5 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Ausmultiplizieren

p (x) = \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5)

p (x) = \frac{1}{4} (x^{2} - 10 x + 25) - x + 5

p (x) = 0, 25 x^{2} - 2, 5 x + 6, 25 - x + 5

p (x) = 0, 25 x^{2} - 3, 5 x + 11, 25

h (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25) & für & x \leq 5 \\ 0, 25 x^{2} - 3, 5 x + 11, 25 & für & x > 5 \end{matrix}

Für Differenzierbarkeit bei

x_{0} = 5

muss gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Differenzierbarkeit einer Funktion

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn gilt:

1.

G_{f}

ist in

x_{0}

stetig

2.

lim_{x \to x_{0}^{-}} f^{'} (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f^{'} (x)

Anders ausgedrückt:

Eine Funktion

f

ist genau dann in

x_{0}

differenzierbar, wenn es an dieser Stelle eine eindeutige Tangente an den Graphen gibt.
Dies ist nur der Fall, wenn der Graph an dieser Stelle weder einen Sprung noch einen Knick aufweist.

$lim_{x \to 5^{-}} h (x) = lim_{x \to 5^{+}} h (x) = h (5)$ (Stetigkeit; kein Sprung im Graphen bei $x = 5$ )

$lim_{x \to 5^{-}} h^{'} (x) = lim_{x \to 5^{+}} h^{'} (x)$ (kein Knick im Graphen bei $x = 5$ )

Die 1. Bedingung ist laut Angabe erfüllt.

Prüfen der 2. Bedingung:

lim_{x \to 5^{-}} h^{'} (x) = lim_{x \to 5^{+}} h^{'} (x)

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitung einer abschnittsweise definierten Funktion

Eine abschnittsweise definierte Funktion wird auch abschnittsweise abgeleitet. Man bildet die Ableitungen der Teilfunktionen:

h (x) = {\begin{matrix} f (x) \\ g (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

h^{'} (x) = {\begin{matrix} f^{'} (x) \\ g^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x \geq x_{0} \end{matrix}

Ist

h

an der Stelle

x_{0}

nicht differenzierbar oder ist nicht bekannt, ob

h

bei

x_{0}

differenzierbar ist, muss

x_{0}

bei der Ableitung ausgeschlossen werden:

h^{'} (x) = {\begin{matrix} f^{'} (x) \\ g^{'} (x) \end{matrix}

\begin{matrix} für x < x_{0} \\ für x > x_{0} \end{matrix}

h^{'} (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{4} (3 x^{2} - 18 x + 15) & für & x < 5 \\ 0, 5 x - 3, 5 & für & x > 5 \end{matrix}

lim_{x \to 5^{-}} h^{'} (x) = lim_{x \to 5^{-}} \frac{1}{4} (3 x^{2} - 18 x + 15) = 0

lim_{x \to 5^{+}} h^{'} (x) = lim_{x \to 5^{+}} (0, 5 x - 3, 5) = - 1

\Rightarrow

2. Bedingung ist nicht erfüllt

\Rightarrow

Die Funktion

h

ist bei

x_{0} = 5

nicht differenzierbar.

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Differenzierbarkeit einer Funktion

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