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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 5.1  (4 BE)
Eine zylinderförmige Trommel (siehe Skizze) besitzt die Gesamtoberfläche 2400 ⋅ π cm 2 . Der Klang der Trommel hängt auch von der Oberfläche und dem Volumen ab. Die Boden- und Deckfläche der Trommel sind mit Fell bespannt. Durch die erhältlichen Fellgrößen ergibt sich, dass ein Radius r von 12 cm bis 30 cm möglich ist.

Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch.
Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen V ( r ) der Trommel in Abhängigkeit von r auf.
[Ergebnis: V ( r ) = π ⋅ ( 1200 r - r 3 ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 5.1
Volumen eines Zylinders



Gegeben: O = 2400 π , 𝔻 r = [ 12 ; 30 ]

Gesucht: V ( r )
Schritt einblenden / ausblenden
Volumen der Trommel:

V = π r 2 h
Schritt einblenden / ausblenden
O = 2400 π

O = 2 π r 2 + 2 π r h = 2400 π

Bedingung nach h auflösen:

2 π r h = 2400 π - 2 π r 2

h = 1200 - r 2 r

Einsetzen in die Volumenformel:

V ( r ) = π r 2 ⋅ 1200 - r 2 r = π ( 1200 r - r 3 )
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Volumen eines Zylinders
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