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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1  (5 BE)
Von der ganzrationalen Funktion f : x ↦ f ( x ) , D f = ℝ dritten Grades ist die zweite Ableitung f ′ ′ ( x ) = 3 2 x - 9 2 gegeben.
Der Graph G f schneidet die x -Achse an der Stelle x 1 = - 1 und die y -Achse im Punkt P ( 0 ∣ 5 4 ) .
Bestimmen Sie den Funktionsterm f ( x ) .
 
Lösung zu Teilaufgabe 1
Funktionsgleichung ermitteln



f ′ ′ ( x ) = 3 2 x - 9 2

Stammfunktion bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ′ ( x ) = 3 4 x 2 - 9 2 x + c

Nochmals Stammfunktion bilden:

f ( x ) = 1 4 x 3 - 9 4 x 2 + c x + d

Bestimmen der Parameter c und d über die gegebenen Bedingungen:
Schritt einblenden / ausblenden

  • f schneidet die x -Achse bei x = - 1 : f ( - 1 ) = 0
    1 4 ⋅ ( - 1 ) 3 - 9 4 ⋅ ( - 1 ) 2 + c ⋅ ( - 1 ) + d = 0
    - 1 4 - 9 4 - c + d = 0
    c = d - 5 2 (I)

  • f schneidet die y -Achse im Punkt P ( 0 | 5 4 ) : f ( 0 ) = 5 4
    1 4 ⋅ 0 3 - 9 4 ⋅ 0 2 + c ⋅ 0 + d = 5 4
    d = 5 4


d = 5 4 in (I) einsetzen:

c = 5 4 - 5 2 ⇒ c = - 5 4


Berechnete Werte für die Parameter c und d in f ( x ) einsetzen:

f ( x ) = 1 4 x 3 - 9 4 x 2 - 5 4 x + 5 4
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