Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.1 (7 BE)

Gegeben ist weiter die Funktion

p : x \mapsto \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5)

mit

D_{p} = ℝ

Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen

g_{25}

und

p

Lösung zu Teilaufgabe 3.1

Schnittpunkt zweier Funktionen

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g_{25} (x) = \frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25)

p (x) = \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5)

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Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

g_{25} (x) = p (x)

\frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25) = \frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5)

| \cdot 4

x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 = (x - 5)^{2} - 4 \cdot (x - 5)

x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 = x^{2} - 10 x + 25 - 4 x + 20

x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 = x^{2} - 14 x + 45

x^{3} - 10 x^{2} + 29 x - 20 = 0

Eine Lösung durch Einsetzen von

\pm 1

\pm 2

\pm 3

etc. finden:

x_{1} = 1

Polynomdivision:

Schritt einblenden / ausblenden

Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom

x^{2} + x - 2

beispielsweise lässt sich in Faktoren folgendermaßen schreiben:

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass

x = 1

eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision. In der faktorisierten Schreibweise wird das deutlich:

(x + 2) (x - 1) : (x - 1) = \frac{(x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(x + 2) \cdot 1}{1} = x + 2

Die Nullstellen des Ergebnisses sind dann die restlichen Nullstellen unseres Polynoms, in diesem Fall also

x = - 2

.

Da aber in der Regel nicht alle Faktoren bekannt sind (sonst hätten wir ja auch schon alle Nullstellen) wird die Polynomdivision in der Summenform durchgeführt.

Bestimmen der Nullstellen des Ergebnisses der Polynomdivision:

x^{2} - 9 x + 20 = 0

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Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{2, 3} = \frac{- (- 9) \pm \sqrt{(- 9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 1}{2}

x_{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5

x_{3} = \frac{9 - 1}{2} = 4

y

-Werte der Schnittpunkte bestimmen:

p (x_{1}) = \frac{1}{4} (1 - 5)^{2} - (1 - 5) = 8

\Rightarrow

Schnittpunkt

S P_{1} (1 | 8)

p (x_{2}) = \frac{1}{4} (4 - 5)^{2} - (4 - 5) = \frac{5}{4}

\Rightarrow

Schnittpunkt

S P_{2} (4 | \frac{5}{4})

p (x_{3}) = \frac{1}{4} (5 - 5)^{2} - (5 - 5) = 0

\Rightarrow

Schnittpunkt

S P_{3} (5 | 0)

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Schnittpunkt zweier Funktionen

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