Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.3 (5 BE)

Die Graphen der Funktionen

g_{25}

und

p

schließen zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des weiter links liegenden Flächenstücks.

Lösung zu Teilaufgabe 3.3

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Skizze:

Schritt einblenden / ausblenden

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

Der Graph von

g_{25}

verläuft zwischen den Schnittpunkten

S P_{1} (1 | 8)

und

S P_{2} (4 | \frac{5}{4})

oberhalb des Graphen von

p

.
Die Fläche ist dann gegeben durch:

A = \int_{1}^{4} (g_{25} (x) - p (x)) dx

= \int_{1}^{4} (\frac{1}{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25) - (\frac{1}{4} (x - 5)^{2} - (x - 5))) dx

= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 - ((x - 5)^{2} - 4 (x - 5))) dx

= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 - (x^{2} - 10 x + 25 - 4 x + 20)) dx

= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} (x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 25 - x^{2} + 10 x - 25 + 4 x - 20) dx

= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} (x^{3} - 10 x^{2} + 29 x - 20) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= \frac{1}{4} {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{10}{3} x^{3} + \frac{29}{2} x^{2} - 20 x]}_{1}^{4}

= \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{10}{3} \cdot 4^{3} + \frac{29}{2} \cdot 4^{2} - 20 \cdot 4 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} \frac{10}{3} \cdot 1^{3} + \frac{29}{2} \cdot 1^{2} - 20 \cdot 1))

= \frac{1}{4} (\frac{8}{3} - (- \frac{103}{12}))

= \frac{1}{4} \cdot \frac{45}{4} = \frac{45}{16} FE

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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