Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.5 (4 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion

g_{25}

rechts- bzw. linksgekrümmt ist sowie die Koordinaten seines Wendepunktes.

Lösung zu Teilaufgabe 2.5

Krümmungsverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Mögliche Wendestelle(n) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{WP}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

g_{25}^{''} (x) = 0

\Leftrightarrow

\frac{1}{4} (6 x - 18) = 0

6 x - 18 = 0

\Rightarrow

x^{WP} = \frac{18}{6} = 3

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an der Stelle

x = 3

mithilfe einer Skizze bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung einer Geraden

Der Graph der zweiten Ableitung

g_{25}^{''} (x) = \frac{1}{4} (6 x - 18) = \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}

ist eine Gerade mit positiver Steigung (

m = \frac{3}{2}

). Sie schneidet die

x

-Achse an der Stelle

x^{WP} = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Funktionswert

Dort wo der Graph oberhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion, also in diesem Fall die zweite Ableitung, positive Funktionswerte und somit positives Vorzeichen.

Dort wo der Graph unterhalb der

x

-Achse liegt, hat die Funktion negative Funktionswerte und somit negatives Vorzeichen.

g_{25}^{''} (x) > 0

für

x \in [3; + \infty [

g_{25}^{''} (x) < 0

für

x \in] - \infty; 3]

Schritt einblenden / ausblenden

Krümmungsverhalten einer Funktion

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt Aufschluss über das Krümmungsverhalten des Graphen.

Es gilt:

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

negativ auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) < 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

rechtsgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

positiv auf einem Intervall

] a, b [

, d.h.

f^{''} (x) > 0

für

x \in] a; b [

, so ist der Graph der Funktion

G_{f}

im Intervall

[a; b]

linksgekrümmt.

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

\Rightarrow

G_{g_{25}}

ist linksgekrümmt für

x \in [3; + \infty [

\Rightarrow

G_{g_{25}}

ist rechtsgekrümmt für

x \in] - \infty; 3]

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Lage des Wendepunkts bestimmen:

y^{WP} = g_{25} (x^{WP}) = g_{25} (3) = \frac{1}{4} (3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 15 \cdot 3 + 25) = 4

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt

Ist die zweite Ableitung einer Funktion

f

gleich Null an einer Stelle

x^{WP}

, d.h.

f^{''} (x^{WP}) = 0

, und findet ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung an dieser Stelle statt, so liegt ein Wendepunkt an der Stelle

x^{WP}

vor.

W P (3 | 4)

ist Wendepunkt, da sich an der Stelle

x = 3

das Krümmungsverhalten ändert.

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Themen dieser Aufgabe:

Krümmungsverhalten einer Funktion

Wendepunkt ermitteln

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