Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1e (5 BE)

Der Graph von

f

, die

x

-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen

x = 10

und

x = s

mit

s > 10

schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt

A (s)

ein. Bestimmen Sie

A (s)

( Ergebnis: $A (s) = 10 \cdot \ln \frac{s^{2} - 25}{75}$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1e

Flächenberechnung

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Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f}

mit der x-Achse sowie den Geraden

x = 10

und

x = s

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

\int_{10}^{s} f (x) dx

s > 10

, bildet

s

die obere Grenze des Integrals.

A (s) = \int_{10}^{s} f (x) dx

A (s) = \int_{10}^{s} \frac{20 x}{x^{2} - 25} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

Rechenregeln für Integrale

Allgemein gilt folgende Rechenregel für Integrale:

\int_{a}^{b} c \cdot h (x) d x

=

c \cdot \int_{a}^{b} h (x) d x

Hier wird der Faktor

10

aus dem Integral ausgeklammert, damit im Integral eine Funktion der Form

\frac{g^{'} (x)}{g (x)}

stehen bleibt.

\underset{g (x)}{\underset{︸}{(x^{2} - 25)}}^{'} = \underset{g^{'} (x)}{\underset{︸}{2 x}}

A (s) = 10 \cdot \int_{10}^{s} \frac{2 x}{x^{2} - 25} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{2 x}{x^{2} - 25}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} dx = \ln | g (x) | + C

\Rightarrow

\int \frac{2 x}{x^{2} - 25} dx = \ln | x^{2} - 25 |

Hier ist die Nennerfunktion

g (x) = x^{2} - 25

. Abgeleitet ergibt sie die Zählerfunktion

2 x

A (s) = 10 \cdot {[\ln | x^{2} - 25 |]}_{10}^{s}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A (s) = 10 \cdot (\ln | s^{2} - 25 | - \ln | 10^{2} - 25 |)

Schritt einblenden / ausblenden

Rechnen mit Logarithmen

Logarithmus eines Quotienten / Differenz von Logarithmen:

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

s > 10

, ist

s^{2} - 25 > 0

und somit fallen die Betragsstriche weg.

A (s) = 10 \cdot \ln \frac{s^{2} - 25}{75}

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Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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