Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 4 (5 BE)

In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $G_{f}$ der Funktion
$f : x \mapsto - \ln x$ mit $0 < x < 1$ .

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 4

Extremwertaufgabe

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Flächeninhalt des Rechtecks:

A (x) = x \cdot (- \ln x)

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Produktregel der Differenzialrechnung

Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = x

und

v (x) = - \ln x

.

Für die

\ln

-Funktion gilt:

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

A^{'} (x) = 1 \cdot (- \ln x) + x \cdot (- \frac{1}{x})

A^{'} (x) = - \ln x - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

Erste Ableitung gleich Null setzen:

A^{'} (x) = 0

0 = - \ln x - 1

\ln x = - 1

|

e^{x}

x^{E} = e^{- 1} = \frac{1}{e}

Prüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt:

Zweite Ableitung bilden:

A^{''} (x) = - \frac{1}{x}

x^{E} = e^{- 1}

A^{''} (x)

einsetzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum).

A^{''} (e^{- 1}) = - \frac{1}{e^{- 1}} = - e < 0

\Rightarrow

Maximum an der Stelle

x^{E} = e^{- 1}

y^{E} = f (x^{E}) = f (e^{- 1}) = - \ln (e^{- 1}) = 1

Gesuchte Seitenlängen:

e^{- 1}, 1

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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