Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1b (4 BE)

Weisen Sie nach, dass die Steigung von

G_{f}

in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem

G_{f}

die

x

-Achse schneidet.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1b

Steigung eines Funktionsgraphen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 25}

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

Quotientenregel:

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

\begin{matrix} u (x) = 20 x & und & v (x) = x^{2} - 25 \end{matrix}

.
Dann ist

\begin{matrix} u^{'} (x) = 20 & und & v^{'} (x) = 2 x \end{matrix}

f^{'} (x) = \frac{20 \cdot (x^{2} - 25) - 20 x \cdot 2 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = \frac{20 x^{2} - 500 - 40 x^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}} = \frac{- 20 x^{2} - 500}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

f^{'} (x) = \frac{- 20 (x^{2} + 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Nennerfunktion

{(x^{2} - 25)}^{2}

ist wegen dem Quadrat für alle

x

aus dem Definitionsbereich größer Null.

Die Zählerfunktion

- 20 (x^{2} + 25)

ist für alle

x

aus dem Definitionsbereich kleiner Null, da der Term

x^{2} + 25

stets größer Null ist.

f^{'} (x) = \frac{\overset{< 0}{\overset{︷}{- 20 \overset{> 0}{\overset{︷}{(x^{2} + 25)}}}}}{\underset{> 0}{\underset{︸}{{(x^{2} - 25)}^{2}}}} < 0

für alle

x \in D_{f}

Schritt einblenden / ausblenden

Steigung eines Funktionsgraphen

Die Steigung des Graphen einer Funktion

f

an der Stelle

x

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x

\Rightarrow

Die Steigung von

G_{f}

ist in jedem Punkt des Graphen negativ.

Schnittwinkel eines Graphen mit der x-Achse

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f^{'} (x) = \frac{- 20 (x^{2} + 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}

;

x^{N} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle

x_{0}

, ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0}

.

Sie entspricht auch dem Tangens des Winkels

α

, welcher die Tangente mit der

x

-Achse bildet.

f^{'} (x_{0}) = \tan α

Hier ist

x_{0} = 0

, die Nullstelle der Funktion.

f^{'} (0) = \frac{- 20 (0 + 25)}{{(0 - 25)}^{2}} = \frac{- 500}{625} = - \frac{4}{5}

\tan α = - \frac{4}{5}

\tan^{- 1} (- \frac{4}{5}) \approx - 38, 7^{\circ}

\Rightarrow

\hat{α} \approx 38, 7^{\circ}

(spitzer Winkel)

oder

\Rightarrow

α = 180^{\circ} - \hat{α} \approx 141, 3^{\circ}

(stumpfer Winkel)

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Steigung eines Funktionsgraphen

Schnittwinkel eines Graphen mit der x-Achse

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Tipp:

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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