Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (5 BE)

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 25}

und maximalem Definitionsbereich

D_{f}

. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen

G_{f}

von

f

Zeigen Sie, dass

D_{f} = ℝ ∖ {- 5; 5}

gilt und dass

G_{f}

symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von

f

sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von

G_{f}

an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Definitionsbereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 25}

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen der Nennerfunktion

f (x)

besteht aus einem Bruch. Die Nennerfunktion

x^{2} - 25

darf den Wert Null nicht annehmen. Es werden also die Nullstellen der Nennerfunktion gesucht und aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

x^{2} - 25 = 0

x^{2} = 25

x_{1, 2} = \pm 5

\Rightarrow

D_{f} = ℝ ∖ {- 5; 5}

Symmetrieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (- x) = \frac{20 \cdot (- x)}{(- x)^{2} - 25} = \frac{- 20 x}{x^{2} - 25} = - \frac{20 x}{x^{2} - 25} = - f (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Man ermittelt zunächst

f (- x)

und vergleicht dann. Es gilt:

G_{f}

ist achsensymmetrisch bezüglich der

y

-Achse, wenn gilt:

f (- x) = f (x)

G_{f}

ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:

f (- x) = - f (x)

\Rightarrow

G_{f}

ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Ansatz:

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

f (x) = 0

0 = \frac{20 x}{x^{2} - 25}

Schritt einblenden / ausblenden

20 x = 0

\Rightarrow

x^{N} = 0

Asymptoten bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

D_{f} = ℝ ∖ {- 5; 5}

Schritt einblenden / ausblenden

lim_{x \to \pm \infty} \frac{\overset{\to \pm \infty}{\overset{︷}{20 x}}}{\underset{\to + \infty}{\underset{︸}{x^{2} - 25}}} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{20 x}{x}}{\frac{x^{2}}{x} - \frac{25}{x}} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{20}{\underset{\to \pm \infty}{\underset{︸}{x - \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{25}{x}}}}}} = 0

\Rightarrow

y = 0

waagerechte Asymptote

Schritt einblenden / ausblenden

Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Untersucht man das Verhalten einer Funktion an einer Definitionslücke, also eine Stelle

x_{0}

die nicht zum Definitionsbereich gehört, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke

x_{0}

von links.
Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke

x_{0}

von rechts.

In diesem Fall ist

5

die Definitionslücke.

lim_{x \to 5^{\pm}} \frac{\overset{\to 100}{\overset{︷}{20 x}}}{\underset{\to 0^{\pm}}{\underset{︸}{x^{2} - 25}}} = \pm \infty

\Rightarrow

x = 5

senkrechte Asymptote

Schritt einblenden / ausblenden

Linksseitiger/Rechtsseitiger Grenzwert

Untersucht man das Verhalten einer Funktion an einer Definitionslücke, also eine Stelle

x_{0}

die nicht zum Definitionsbereich gehört, so müssen folgende Grenzwerte gebildet werden:

\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) & (rechtsseitiger Grenzwert) \\ lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) & (linksseitiger Grenzwert) \end{matrix}

Beim linksseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke

x_{0}

von links.
Beim rechtsseitigen Grenzwert nähert man sich der Definitionslücke

x_{0}

von rechts.

In diesem Fall ist

- 5

die Definitionslücke.

lim_{x \to - 5^{\pm}} \frac{\overset{\to - 100}{\overset{︷}{20 x}}}{\underset{\to 0^{\mp}}{\underset{︸}{x^{2} - 25}}} = \pm \infty

\Rightarrow

x = - 5

senkrechte Asymptote

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil A 1c

Teilaufgabe Teil A 2a

Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil A 3

Teilaufgabe Teil A 4

Teilaufgabe Teil A 5a

Teilaufgabe Teil A 5b

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 1d

Teilaufgabe Teil B 1e

Teilaufgabe Teil B 1f

Teilaufgabe Teil B 1g

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

Teilaufgabe Teil B 2e

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Definitionsbereich bestimmen

Symmetrieverhalten einer Funktion

Nullstellen einer Funktion

Asymptoten bestimmen

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!