Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (4 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f : x \mapsto 5 x \cdot e^{- x}

. Abbildung 3 zeigt den Graphen

G

von

f

G

hat genau einen Extrempunkt. Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von

G

(zur Kontrolle: $(1 | \frac{5}{e})$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Lage von Extrempunkten ermitteln

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f^{'} (x) = 5 e^{- x} + 5 x \cdot e^{- x} \cdot (- 1) = 5 \cdot (1 - x) \cdot e^{- x}

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = 5 x

und

v (x) = e^{- x}

.

Kettenregel für Exponentialfunktionen:

v (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

v^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

In diesem Fall ist

g (x) = - x

f^{'} (x) = 0

\underset{\neq 0}{\underset{︸}{5}} \cdot (1 - x) \cdot \underset{\neq 0}{\underset{︸}{e^{- x}}} = 0

1 - x = 0 \Rightarrow x_{1} = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Lage des Extrempunkts:

f (1) = \frac{5}{e}

E (1 | \frac{5}{e})

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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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