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Abitur 2025 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f ( x ) = - 1 2 x 2 + 1 .
Zeichnen Sie den Graphen von f für - 3 ≤ x ≤ 3 in ein Koordinatensystem ein.

Es gibt genau eine positive reelle Zahl a , für die das Integral ∫ 0 a f ( x )  dx den Wert 0 hat. Berechnen Sie a .

Betrachtet wird eine in ℝ definierte ganzrationale Funktion g .
Beschreiben Sie, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass 2 eine Wendestelle von g ist.

Der Punkt ( 2 | 3 ) ist der einzige Wendepunkt des Graphen von g . Die in ℝ definierte Funktion h ist gegeben durch h ( x ) = g ( 2 x ) - 1 .
Geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von h an und begründen Sie Ihre Angabe.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit f ( x ) = 1 4 x 3 - 3 x .
Für die zweite Ableitungsfunktion von f gilt f ′ ′ ( 2 ) ≠ 0 . Zeigen Sie, dass 2 eine Extremstelle von f ist.

Einer der Graphen I und II in Abbildung 1 ist der Graph einer Stammfunktion von f . Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie ihre Angabe.


Gegeben ist die Funktion g : x ↦ x - 2 mit x ∈ [ 2 ; + ∞ [ . Abbildung 2 zeigt den Graphen G von g sowie den Punkt P ( 3 | 1 ) . Die Gerade mit der Gleichung y = 1 2 x - 1 2 ist die Tangente an G im Punkt P und hat mit G nur Punkt P gemeinsam.

Zeichnen Sie die Tangente in Abbildung 2 ein.

Betrachtet wird eine Gerade, die mit G sowohl den Punkt P als auch einen weiteren Punkt gemeinsam hat. Geben Sie alle möglichen Steigungen dieser Gerade an.

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ 5 x ⋅ e - x . Abbildung 3 zeigt den Graphen G von f .


G hat genau einen Extrempunkt. Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von G .

(zur Kontrolle: ( 1 | 5 e ) )


Die Tangente t an G in dessen Wendepunkt hat die Gleichung y = - 5 e 2 x + 20 e 2 . Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerade, die den Extrempunkt von G enthält und senkrecht zu t verläuft.

Betrachtet wird die in [ 1 ; + ∞ [ definierte Funktion h mit h ( x ) = f ( x ) .
Begründen Sie, dass die Funktion f nicht umkehrbar, die Funktion h jedoch umkehrbar ist. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich der Umkehrfunktion von h an.

Abbildung 4 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt. Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung y = 5 sowie durch die Kurvenstücke H 1 und H 2 beschrieben:

• H 1 entsteht, indem G für x ∈ [ ln 5 ; 5 ] an der Gerade mit der Gleichung y = x gespiegelt wird.
• H 2 entsteht durch Spiegeln von H 1 an der Gerade mit der Gleichung x = ln 5 .

Der Punkt S ( ln 5 | ln 5 ) ist gemeinsamer Punkt von H 1 und H 2 .

Begründen Sie, dass mit dem Term 2 ⋅ ( ( 5 - ln 5 ) ⋅ ln 5 - ∫ ln 5 5 f ( x )  dx ) der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann.

Die in ℝ definierte Funktion F : x ↦ - 5 ( x + 1 ) ⋅ e - x ist eine Stammfunktion von f . Berechnen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf eine Nachkommastelle genau.

Betrachtet wird die Schar der in ℝ definierten Funktionen g k : x ↦ - 5 x ⋅ e - k x mit k ∈ ℝ ∖ { 0 } . Abbildung 5 zeigt vier Graphen der Schar, die zu den Werten k = - 1 , k = - 0 , 5 , k = 0 , 5 und k = 1 gehören.

Der Graph III kann durch Spiegeln von G (vgl. Abbildung 1) an der x - Achse erzeugt werden. Geben Sie den zugehörigen Wert von k sowie die Koordinaten des Tiefpunkts von Graph III an. Ordnen Sie den drei übrigen Werten von k den jeweils passenden Graphen zu.

Zeigen Sie, dass g k ( - x ) = - g - k ( x ) für alle x ∈ ℝ gilt, und interpretieren Sie diese Gleichung mit Blick auf die Graphen der Funktionen g k und g - k .

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