Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1c (6 BE)

Weisen Sie nach, dass

\frac{6 - 3 x}{8 \cdot \sqrt{6 - x}}

ein Term der ersten Ableitungsfunktion

f^{'}

von

f

ist. Ermitteln Sie

lim_{x \to 6} f^{'} (x)

und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

f^{'} (x) = 0, 25 \cdot (1) \cdot \sqrt{6 - x} + 0, 25 \cdot (x + 6) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{6 - x}} \cdot (- 1) =

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = x + 6

und

v (x) = \sqrt{6 - x}

.

Kettenregel für Wurzelfunktionen:

v (x) = \sqrt{g (x)}

\Rightarrow

v^{'} (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{g (x)}} \cdot g^{'} (x)

In diesem Fall ist

g (x) = 6 - x

= \frac{1}{4} \cdot \sqrt{6 - x} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x + 6}{2 \sqrt{6 - x}} =

= \frac{\sqrt{6 - x}}{4} - \frac{x + 6}{8 \cdot \sqrt{6 - x}} =

Schritt einblenden / ausblenden

= \frac{\sqrt{6 - x} \cdot 2 \cdot \sqrt{6 - x}}{4 \cdot 2 \cdot \sqrt{6 - x}} - \frac{x + 6}{8 \cdot \sqrt{6 - x}} =

= \frac{2 \cdot (6 - x)}{8 \cdot \sqrt{6 - x}} - \frac{x + 6}{8 \cdot \sqrt{6 - x}} =

= \frac{12 - 2 x - x - 6}{8 \cdot \sqrt{6 - x}} = \frac{6 - 3 x}{8 \cdot \sqrt{6 - x}}

lim_{x \to 6} \frac{\overset{\to - 12}{\overset{︷}{6 - 3 x}}}{8 \cdot \underset{\to 0}{\underset{︸}{\sqrt{6 - x}}}} = - \infty

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Beim Grenzwert gilt:

\frac{Z a h l}{0} = \infty

Der Federball trifft senkrecht auf den Boden auf.

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Themen dieser Aufgabe:

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

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Tipp:

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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