Lösung Abitur Bayern 2025 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2 (5 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

g : x \mapsto x^{2} - e^{x}

. Der Graph von

g

besitzt genau einen Wendepunkt

W

. Bestimmen Sie rechnerisch die

x -

Koordinate von

W

und beurteilen Sie, ob

W

oberhalb der

x -

Achse liegt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2

Wendepunkt ermitteln

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g (x) = x^{2} - e^{x}

g^{'} (x) = 2 x - e^{x}

g^{''} (x) = 2 - e^{x}

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

Bei der Ableitung gilt:

x^{r} \Rightarrow r \cdot x^{r - 1}

e^{g (x)} \Rightarrow e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

g^{''} (x) = 0

2 - e^{x} = 0

2 = e^{x}

\Rightarrow x^{W} = l n (2)

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt ermitteln

Ansatz für das Bestimmen eines Wendepunkts ist stets:

g^{''} (x) = 0

g (\ln 2) = \underset{< 1}{\underset{︸}{x^{2}}} - \underset{2}{\underset{︸}{e^{x}}} < 0

\Rightarrow y^{W} < 0

, deshalb liegt der Wendepunkt

W

unterhalb der

x -

Achse.

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

\ln e = 1

und da

e > 2

folgt daraus

\ln 2 < 1

. Deshalb ist

(\ln 2)^{2} < 1

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Wendepunkt ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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