Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 2c (5 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion

h

mit

h (x) = \ln (g (x))

. Geben Sie mithilfe des Verlaufs von

G_{g}

die maximale Definitionsmenge

D_{h}

von

h

, das Verhalten von

h

an den Grenzen von

D_{h}

sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von

h

an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 2c

Definitionsbereich bestimmen

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Verlauf von

G_{g}

G_{g}

ist negativ für

x \in] - \infty; - 1 [

G_{g}

ist positiv für

x \in] - 1; 1 [\cup] 1; + \infty [

Schritt einblenden / ausblenden

Definitionsbereich der Logarithmusfunktion

h (x)

ist eine Logarithmusfunktion des Typs

\ln (g (x))

.

Die

\ln

-Funktion ist nur für positive Werte in ihrem Argument definiert.
Somit gilt für die Argumentfunktion:

g (x) > 0

\Rightarrow

D_{h} =] - 1; 1 [\cup] 1; + \infty [

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Grenzwerte bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

ln-Funktion

Graph der

\ln

-Funktion:

Am Graphen der

\ln

-Funktion lässt sich der Grenzwert ablesen.

lim_{x \to - 1^{+}} \ln (\underset{\to 0}{\underset{︸}{g (x)}}) = - \infty

lim_{x \to 1^{+}} \ln (\underset{\to \infty}{\underset{︸}{g (x)}}) = \infty

lim_{x \to 1^{-}} \ln (\underset{\to \infty}{\underset{︸}{g (x)}}) = \infty

lim_{x \to \infty} \ln (\underset{\to \infty}{\underset{︸}{g (x)}}) = \infty

Nullstellen einer Funktion

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Nullstelle von

h

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen einer Logarithmusfunktion

\ln 1 = 0

, nimmt die Logarithmusfunktion

\ln (g (x))

den Wert Null an, wenn das Argument

g (x) = 1

ist.

\ln (g (x)) = 0

\Leftrightarrow

g (x) = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Wert aus Zeichung ablesen

Der

x

-Wert wird am Graphen von

g

abgelesen.

x \approx - 0, 6

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Themen dieser Aufgabe:

Definitionsbereich bestimmen

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

Nullstellen einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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