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Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I
Teilaufgabe Teil 1 1 (4 BE)
Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge .
Geben Sie an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung von .
Geben Sie an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung von .
Teilaufgabe Teil 1 2 (5 BE)
Zeigen Sie, dass mit Definitionsmenge eine Stammfunktion der in definierten Funktion ist.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von , die in eine Nullstelle hat.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von , die in eine Nullstelle hat.
Teilaufgabe Teil 1 3 (5 BE)
Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf Milliarden zu Beginn des Jahres 2010. Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form beschreiben, wobei die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres ist.
Bestimmen Sie und .
Bestimmen Sie und .
Betrachtet wird die Aussage .
Teilaufgabe Teil 1 4a (3 BE)
Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel, dass die Aussage wahr ist.
Teilaufgabe Teil 1 4b (3 BE)
Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch Rechnung nach.
Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge . Abbildung 1 zeigt den Graphen von , einen beliebigen Punkt auf sowie den Punkt auf der -Achse. | ![]() |
Teilaufgabe Teil 2 1a (2 BE)
Begründen Sie, dass die maximale Definitionsmenge von ist. Wie geht aus dem Graphen der in definierten Funktion hervor?
Teilaufgabe Teil 2 1b (4 BE)
Zeigen Sie, dass für die Entfernung des Punkts vom Punkt gilt: .
Teilaufgabe Teil 2 1c (7 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts , der von den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie in Abbildung 1 ein.
(zur Kontrolle: )
Teilaufgabe Teil 2 1d (5 BE)
Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke und die Tangente an im Punkt senkrecht zueinander sind.
Teilaufgabe Teil 2 1e (6 BE)
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von , der -Achse und der Strecke begrenzt wird.
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten gebrochenrationalen Funktion mit folgenden Eigenschaften:
- Die Funktion hat in eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;
- verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung gegeben ist;
- die einzige Nullstelle von ist .

Teilaufgabe Teil 2 2a (6 BE)
Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung von an der Stelle ; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung für und . Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von in Abbildung 2.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung für und . Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von in Abbildung 2.
Teilaufgabe Teil 2 2b (5 BE)
Die Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit :
I II III
Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von infrage kommt.
Die Funktionsgleichung von hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von .
I II III
Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von infrage kommt.
Die Funktionsgleichung von hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von .
Teilaufgabe Teil 2 2c (5 BE)
Betrachtet wird nun die Funktion mit . Geben Sie mithilfe des Verlaufs von die maximale Definitionsmenge von , das Verhalten von an den Grenzen von sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von an.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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