Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

Teilaufgabe Teil 1 1 (4 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{2 x + 3}{4 x + 5}

mit maximaler Definitionsmenge

D

.
Geben Sie

D

an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung

f^{'}

von

f

Teilaufgabe Teil 1 2 (5 BE)

Zeigen Sie, dass

F : x \mapsto \frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1)

mit Definitionsmenge

ℝ^{+}

eine Stammfunktion der in

ℝ^{+}

definierten Funktion

f : x \mapsto x \cdot \ln x

ist.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von

f

, die in

x = 1

eine Nullstelle hat.

Teilaufgabe Teil 1 3 (5 BE)

Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von

6, 1

Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf

6, 9

Milliarden zu Beginn des Jahres 2010. Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form

N (x) = N_{0} \cdot e^{k \cdot (x - 2000)}

beschreiben, wobei

N (x)

die Anzahl der Menschen zu Beginn des Jahres

x

ist.
Bestimmen Sie

N_{0}

und

k

Betrachtet wird die Aussage

\int_{0}^{π} \sin (2 x) d x = 0

Teilaufgabe Teil 1 4a (3 BE)

Machen Sie ohne Rechnung anhand einer sorgfältigen Skizze plausibel, dass die Aussage wahr ist.

Teilaufgabe Teil 1 4b (3 BE)

Weisen Sie mithilfe einer Stammfunktion die Gültigkeit der Aussage durch Rechnung nach.

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \sqrt{x + 3}

mit Definitionsmenge

D_{f}

. Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

, einen beliebigen Punkt

Q (x | f (x))

auf

G_{f}

sowie den Punkt

P (1, 5 | 0)

auf der

x

-Achse.

Teilaufgabe Teil 2 1a (2 BE)

Begründen Sie, dass

D_{f} = [- 3; + \infty [

die maximale Definitionsmenge von

f

ist. Wie geht

G_{f}

aus dem Graphen der in

ℝ_{0}^{+}

definierten Funktion

w : x \mapsto \sqrt{x}

hervor?

Teilaufgabe Teil 2 1b (4 BE)

Zeigen Sie, dass für die Entfernung

d (x)

des Punkts

Q (x | f (x))

vom Punkt

P (1, 5 | 0)

gilt:

d (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25}

Teilaufgabe Teil 2 1c (7 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts

Q_{E} (x_{E} | y_{E})

, der von

P

den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie

Q_{E}

in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: $x_{E} = 1$ )

Teilaufgabe Teil 2 1d (5 BE)

Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke

[P Q_{E}]

und die Tangente an

G_{f}

im Punkt

Q_{E}

senkrecht zueinander sind.

Teilaufgabe Teil 2 1e (6 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von

G_{f}

, der

x

-Achse und der Strecke

[P Q_{E}]

begrenzt wird.

Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{g}

einer in

ℝ ∖ {1}

definierten gebrochenrationalen Funktion

g

mit folgenden Eigenschaften:

Die Funktion $g$ hat in $x = 1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;
$G_{g}$ verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung $y = \frac{1}{2} x - 1$ gegeben ist;
die einzige Nullstelle von $g$ ist $x = - 1$ .

Teilaufgabe Teil 2 2a (6 BE)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung

g^{'}

von

g

an der Stelle

x = - 1

; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung

g^{'}

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

. Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von

g^{'}

in Abbildung 2.

Teilaufgabe Teil 2 2b (5 BE)

Die Funktion

g

hat eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit

a \in ℝ ∖ {0}

:

I

y = x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^{2}}

y = \frac{1}{2} x - 1 + \frac{a}{x - 1}

III

y = \frac{1}{2} x - 1 + \frac{a}{(x - 1)^{2}}

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von

g

infrage kommt.
Die Funktionsgleichung von

g

hat also die Form III. Bestimmen Sie den passenden Wert von

a

Teilaufgabe Teil 2 2c (5 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion

h

mit

h (x) = \ln (g (x))

. Geben Sie mithilfe des Verlaufs von

G_{g}

die maximale Definitionsmenge

D_{h}

von

h

, das Verhalten von

h

an den Grenzen von

D_{h}

sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von

h

an.

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe Teil 2 2b

Teilaufgabe Teil 2 2c

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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