Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1e (6 BE)

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von

G_{f}

, der

x

-Achse und der Strecke

[P Q_{E}]

begrenzt wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1e

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen -3 und 1 einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A_{I n t e g r a l} = \int_{- 3}^{1} f (x) dx

Die restliche Fläche entspricht dem Flächeninhalt eines Dreiecks mit Höhe

2

und Länge

0, 5

A_{D r e i e c k} = \frac{1}{2} \cdot 0, 5 \cdot 2

A

=

A_{I n t e g r a l} + A_{D r e i e c k}

=

\int_{- 3}^{1} f (x) dx + \frac{1}{2} \cdot 0, 5 \cdot 2

=

\int_{- 3}^{1} \sqrt{x + 3} dx + 0, 5

=

\int_{- 3}^{1} (x + 3)^{\frac{1}{2}} dx + 0, 5

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Die Stammfunktion von

(x + 3)^{\frac{1}{2}}

wird so gebildet, wie bei einer Polynomfunktion:

\int x^{n} dx = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C

=

{[\frac{2}{3} (x + 3)^{\frac{3}{2}}]}_{- 3}^{1} + 0, 5

=

{[\frac{2}{3} \sqrt{(x + 3)^{3}}]}_{- 3}^{1} + 0, 5

=

\frac{16}{3} - 0 + 0, 5

\Rightarrow

A = \frac{35}{6}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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