Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1c (7 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten desjenigen Graphenpunkts

Q_{E} (x_{E} | y_{E})

, der von

P

den kleinsten Abstand hat. Tragen Sie

Q_{E}

in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: $x_{E} = 1$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1c

Extremwertaufgabe

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Abstandsfunktion:

d (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25} = {(x^{2} - 2 x + 5, 25)}^{\frac{1}{2}}

Erste Ableitung bilden:

d^{'} (x) = {[{(x^{2} - 2 x + 5, 25)}^{\frac{1}{2}}]}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Hier ist

v (x) = x^{2} - 2 x + 5, 25

.
Dann ist

v^{'} (x) = 2 x - 2

d^{'} (x) = \frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 5, 25)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x - 2)

d^{'} (x) = \frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25}}

Erste Ableitung gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x_{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x_{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

d^{'} (x) = 0

\Leftrightarrow

\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Bruch gleich Null setzen

Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Zu beachten ist dabei, dass die Nullstelle des Zählers nicht mit einer Nullstelle des Nenners übereinstimmen darf(hebbare Lücke).

Hier besitzt die Nennerfunktion

2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25}

keine Nullstelle, da die Diskriminante

D

der quadratischen Funktion

x^{2} - 2 x + 5, 25

negativ ist:

D = b^{2} - 4 a c = 4 - 4 \cdot 5, 25 < 0

\Rightarrow

2 x - 2 = 0

\Rightarrow

x_{E} = 1

\Rightarrow

y_{E} = f (x_{E}) = f (1) = \sqrt{1 + 3} = 2

\Rightarrow

Q_{E} (1 | 2)

Prüfen, dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts wird durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

Hier ist die Nennerfunktion

2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 5, 25}

positiv, da die Diskriminante

D

der quadratischen Funktion

x^{2} - 2 x + 5, 25

negativ ist:

D = b^{2} - 4 a c = 4 - 4 \cdot 5, 25 < 0

\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{\underset{> 0}{\underset{︸}{x^{2} - 2 x + 5, 25}}}} > 0

\Leftrightarrow

2 x - 2 > 0

\Rightarrow

x > 1

\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{\underset{> 0}{\underset{︸}{x^{2} - 2 x + 5, 25}}}} < 0

\Leftrightarrow

2 x - 2 < 0

\Rightarrow

x < 1

An der Stelle

x = 1

wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen von

(-)

nach

(+)

\Rightarrow

Q_{E} (1 | 2)

Minimum

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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