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Nachweis einer Stammfunktion

Nullstellen einer Stammfunktion

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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 1 2 (5 BE)

Zeigen Sie, dass $F : x \mapsto \frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1)$ mit Definitionsmenge $ℝ^{+}$ eine Stammfunktion der in $ℝ^{+}$ definierten Funktion $f : x \mapsto x \cdot \ln x$ ist.
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von $f$ , die in $x = 1$ eine Nullstelle hat.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 1 2

Lösung als Video

Nachweis einer Stammfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$F (x) = \frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1)$

Erste Ableitung bilden:

$F^{'} (x) = {[\frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1)]}^{'}$

Schritt einblenden / ausblenden

$F^{'} (x) = \frac{1}{4} \cdot (2 x \cdot (2 \ln x - 1) + x^{2} \cdot \frac{2}{x})$

$F^{'} (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x \cdot \ln x - 2 x + 2 x)$

$F^{'} (x) = x \cdot \ln x = f (x)$

Schritt einblenden / ausblenden

$\Rightarrow$ $F$ ist eine Stammfunktion von $f$ .

Nullstellen einer Stammfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$F_{C} (x) = \frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1) + C$ , $C \in ℝ$

$F_{C}$ ist die Menge aller Stammfunktionen.

$F_{C} (1) = 0 = - \frac{1}{4} + C$ $\Rightarrow$ $C = \frac{1}{4}$

$F_{\frac{1}{4}} (x) = \frac{1}{4} x^{2} \cdot (2 \ln x - 1) + \frac{1}{4}$

Probe: $F_{\frac{1}{4}} (1) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$

$\Rightarrow$ $F_{\frac{1}{4}}$ ist diejenige Stammfunktion von $f$ , die in $x = 1$ eine Nullstelle hat.

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