Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 1 1 (4 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \frac{2 x + 3}{4 x + 5}

mit maximaler Definitionsmenge

D

.
Geben Sie

D

an und ermitteln Sie einen möglichst einfachen Funktionsterm für die Ableitung

f^{'}

von

f

Lösung zu Teilaufgabe Teil 1 1

Definitionsbereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = \frac{2 x + 3}{4 x + 5}

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen der Nennerfunktion

f (x)

besteht aus einem Bruch. Die Nennerfunktion

4 x + 5

darf den Wert Null nicht annehmen. Es werden also die Nullstellen der Nennerfunktion gesucht und aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen.

4 x + 5 = 0

x = - \frac{5}{4}

\Rightarrow

D_{f} = ℝ ∖ {- \frac{5}{4}}

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

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Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = {(\frac{2 x + 3}{4 x + 5})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

Quotientenregel:

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

\begin{matrix} u (x) = 2 x + 3 & und & v (x) = 4 x + 5 \end{matrix}

.
Dann ist

\begin{matrix} u^{'} (x) = 2 & und & v^{'} (x) = 4 \end{matrix}

f^{'} (x) = \frac{2 \cdot (4 x + 5) - 4 \cdot (2 x + 3)}{(4 x + 5)^{2}}

∣

Ausmultiplizieren

f^{'} (x) = \frac{8 x + 10 - 8 x - 12}{(4 x + 5)^{2}}

∣

Zusammenfassen

f^{'} (x) = \frac{- 2}{(4 x + 5)^{2}}

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Definitionsbereich bestimmen

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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