Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 2a (6 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{g}

einer in

ℝ ∖ {1}

definierten gebrochenrationalen Funktion

g

mit folgenden Eigenschaften:

Die Funktion $g$ hat in $x = 1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel;
$G_{g}$ verläuft stets oberhalb seiner schrägen Asymptote, die durch die Gleichung $y = \frac{1}{2} x - 1$ gegeben ist;
die einzige Nullstelle von $g$ ist $x = - 1$ .

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 näherungsweise den Wert der Ableitung

g^{'}

von

g

an der Stelle

x = - 1

; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.
Aus der Gleichung der schrägen Asymptote ergibt sich unmittelbar das Verhalten der Ableitung

g^{'}

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

. Geben Sie dieses Verhalten an und skizzieren Sie den Graphen von

g^{'}

in Abbildung 2.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 2a

Steigung eines Funktionsgraphen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

(Ausschnitt von Abbildung 2: Tangente am Graphen an der Stelle

x = - 1

mit Steigungsdreieck)

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung

m

der Tangente

t

an dem Graphen

G_{f}

einer Funktion

f (x)

in einem Punkt

S (x_{S} | y_{S})

ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{S}

m = f^{'} (x_{S})

Steigung der Tangente am Graphen

G_{g}

an der Stelle

x = - 1

m \approx \frac{2}{1} = 2

\Rightarrow

g^{'} (- 1) \approx 2

Grenzwert bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Asymptote:

y = \frac{1}{2} x - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Für immer größer werdende

x

-Werte, nähert sich der Graph von

g

der Geraden (Asymptote)

y = \frac{1}{2} x - 1

.

Dies bedeutet, dass sich auch die Tangenten an den Graphen von

g

der Asymptoten nähern; sie nehmen somit die gleiche Steigung an.

Da die Steigung der Tangente gleich dem Wert der ersten Ableitung ist, gilt:

lim_{x \to \pm \infty} g^{'} (x) = \frac{1}{2}

\Rightarrow

lim_{x \to \pm \infty} g^{'} (x) = \frac{1}{2}

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1

Teilaufgabe Teil 1 2

Teilaufgabe Teil 1 3

Teilaufgabe Teil 1 4a

Teilaufgabe Teil 1 4b

Teilaufgabe Teil 2 1a

Teilaufgabe Teil 2 1b

Teilaufgabe Teil 2 1c

Teilaufgabe Teil 2 1d

Teilaufgabe Teil 2 1e

Teilaufgabe Teil 2 2a

Teilaufgabe Teil 2 2b

Teilaufgabe Teil 2 2c

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Steigung eines Funktionsgraphen

Grenzwert bestimmen

Skizze

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!