Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.2 (7 BE)

Bestimmen Sie nun die Maße desjenigen zylinderförmigen Päckchens, das dabei maximales Volumen aufweist.

Lösung zu Teilaufgabe 4.2

Extremwertaufgabe

V (d) = π \cdot (25 d^{2} - \frac{1}{4} d^{3})

D_{V} =] 0; 100 [

(siehe Aufgabe 4.1)

Gefragt ist nach demjenigen Wert

d

, für den das Volumen

V (d)

maximal wird. Man sucht also die Extremstelle (absolutes Maximum) der Funktion

V

.

Erste Ableitung bilden:

V^{'} (d) = π \cdot (50 d - \frac{3}{4} d^{2})

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

V^{'} (d) = 0

π \cdot (50 d - \frac{3}{4} d^{2}) = 0

50 d - \frac{3}{4} d^{2} = 0

d (50 - \frac{3}{4} d) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

d = 0

(

\notin D_{V}

)

50 - \frac{3}{4} d = 0

- \frac{3}{4} d = - 50

d = \frac{200}{3} \approx 66, 7

Zweite Ableitung bilden:

V^{''} (d) = π \cdot (50 - \frac{3}{2} d)

Untersuchen ob

d = \frac{200}{3}

ein absolutes Maximum ist:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum).

V^{''} (\frac{200}{3}) = - 50 π < 0

\Rightarrow

d = \frac{200}{3}

ist relatives Maximum

V (\frac{200}{3}) \approx 116355

Randbetrachtung:

Schritt einblenden / ausblenden

Bei Extremwertaufgaben ist der Definitionsbereich einer Funktion oft aufgrund realer Bedingungen eingeschränkt.

Die Funktionswerte können an den Rändern des Definitionsbereichs größer sein als das relative Maximum. Dies muss überprüft werden.

Beispiel:

Diese Funktion hat zwar ein relatives Maximum im Punkt

H O P (1 | 4)

, dies ist jedoch nicht der größte Wert, den die Funktion im gesamten Definitionsbereich annehmen kann.
Bei

(5 | 6)

gibt es am Rand des Definitionsbereichs damit noch einen größeren Wert. Dies wäre dann hier das globale Maximum.

\begin{matrix} lim_{d \to 0^{+}} - \frac{1}{4} d^{3} π + 25 π d^{2} = 0 \\ lim_{d \to 100^{-}} - \frac{1}{4} d^{3} π + 25 π d^{2} = 0 \end{matrix}} < 116355

\Rightarrow

d = \frac{200}{3}

ist absolutes Maximum

h = 100 - \frac{200}{3} = \frac{100}{3}

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Themen dieser Aufgabe:

Extremwertaufgabe

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