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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 3.2  (7 BE)
Berechnen Sie mit Hilfe geeigneter aus der Zeichnung abgelesener Punktkoordinaten den Funktionsterm g ′ ( x ) und anschließend den Funktionsterm g ( x ) derjenigen Funktion g , deren Wendepunkt auf der x -Achse liegt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3.2
Parameterwerte ermitteln



g ′ hat Nullstellen bei x 1 = - 3 und x 2 = - 1 .
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ g ′ ( x ) = a ⋅ ( x + 3 ) ( x + 1 ) = a ⋅ ( x 2 + 4 x + 3 )

Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt ( 0 | 3 ) .

Den Punkt ( 0 | 3 ) in die Funktionsgleichung einsetzen:

3 = a ⋅ ( 0 2 + 4 ⋅ 0 + 3 )

3 = 3 a

a = 1

⇒ g ′ ( x ) = x 2 + 4 x + 3

Stammfunktion bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
g ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x 2 + 3 x + C

Bestimmen der Integrationskonstanten C :

Wendestelle bei x W = - 2 (siehe Aufgabe 3.1)

Der Wendepunkt soll auf der x -Achse liegen.

⇒ Wendepunkt W P ( - 2 | 0 )


Koordinaten des Wendepunktes in die Funktionsgleichung einsetzen:

g ( - 2 ) = 0

1 3 ⋅ ( - 2 ) 3 + 2 ⋅ ( - 2 ) 2 + 3 ⋅ ( - 2 ) + C = 0

- 8 3 + 8 - 6 + C = 0

C = 2 3

Den Wert C = 2 3 in die Funktionsgleichung einsetzen:

g ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 2 3
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