Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (5 BE)

Berechnen Sie die

x

-Koordinate desjenigen Punktes, in dem der Graph

G_{f}

die kleinstmögliche Steigung besitzt. Begründen Sie auch, warum es keinen Punkt gibt, in dem der Graph größtmögliche Steigung besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Wendepunkt ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{3} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x

f_{3}^{'} (x) = x^{2} - 4

(siehe Aufgabe 2.1)

Zweite Ableitung bilden:

f_{3}^{''} (x) = 2 x

Schritt einblenden / ausblenden

Wendepunkt ermitteln

Wendepunkte sind Punkte eines Funktionsgraphen, an denen sich die Krümmungsrichtung ändert. Die 2. Ableitung hat an solchen Stellen einen Vorzeichenwechsel, sie ist also zum Beispiel links des Wendepunkts positiv und rechts davon negativ. An der Wendestelle

x_{W}

selbst ist die 2. Ableitung Null.

f^{''} (x_{W}) = 0

Um den Vorzeichenwechsel von

f^{''}

jedoch garantieren zu können, ist eine zusätzliche Bedingung notwendig. An Wendepunkten ist die 3. Ableitung stets von Null verschieden.

f^{'''} (x_{W}) \neq 0

f^{''}

die 1. Ableitung von

f^{'}

ist, sind die Nullstellen von

f^{''}

auch die Extremwerte von

f^{'}

f^{''} = {(f^{'})}^{'}

Wendepunkte sind also auch die Stellen, an denen die Steigung extremal wird, also am größten oder am kleinsten ist.

f_{3}^{''} (x) = 0

2 x = 0

x^{W} = 0

\Rightarrow

f_{3}

hat die kleinste Steigung bei

x^{W} = 0

Begründung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

lim_{x \to \pm \infty} (x^{2} - 4) = \infty

gibt es keine größte Steigung im Graphen von

f_{3}

.

(

x^{2} - 4

hat kein relatives Maximum und die Werte an den Definitionsrändern

\infty

und

- \infty

steigen immer weiter an.)

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Wendepunkt ermitteln

Begründung

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