Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.4 (4 BE)

Der Graph

G_{f}

und die

x

-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.

Lösung zu Teilaufgabe 2.4

Flächenberechnung

f_{3} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x

Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen

x_{1}^{N} = 0

und

x_{2}^{N} = \sqrt{12}

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f_{3}}

mit der

x

-Achse zwischen

0

und

\sqrt{12}

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = | \int_{0}^{\sqrt{12}} f_{3} (x) dx |

A = | \int_{0}^{\sqrt{12}} (\frac{1}{3} x^{3} - 4 x) dx |

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= | {[\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2}]}_{0}^{\sqrt{12}} |

= | (\frac{1}{12} \cdot {(\sqrt{12})}^{4} - 2 \cdot {(\sqrt{12})}^{2}) - 0 |

= | \frac{1}{12} \cdot 144 - 2 \cdot 12 |

= | 12 - 24 | = 12 FE

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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