Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (5 BE)

Die Gebührenordnung des Paketdienstes „Paket Ahoi" enthält folgende Klausel: „Bei Päckchen in Zylinderform darf die Summe aus der Höhe

h

des Zylinders und dem Durchmesser

d

des Grundkreises

100

cm nicht überschreiten." Auf Einheiten wird im Folgenden verzichtet!

Berechnen Sie das Volumen

V (d)

eines solchen Päckchens, wenn die in der Gebührenordnung erwähnte Summe genau

100

cm beträgt. Geben Sie auch eine geeignete Definitionsmenge an.
[Mögliches Teilergebnis:

V (d) = π \cdot (25 d^{2} - \frac{1}{4} d^{3})

]

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Volumen eines Zylinders

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Gegeben:

d + h = 100

Gesucht:

V (d)

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Zylinders

Das Volumen eines Zylinders berechnet sich aus dem Produkt aus Grundfläche und Höhe:

V_{Zylinder} = G \cdot h = π r^{2} \cdot h

Volumen des Päckchens:

V = π r^{2} h = π {(\frac{d}{2})}^{2} h = \frac{1}{4} π d^{2} h

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Während man für

d

einen beliebigen Wert wählen kann, muss die Höhe

h

so gewählt werden (in Abhängigkeit von

d

), dass die genannte Bedingung für die Summe aus beiden Werten erfüllt ist.

Da für die Summe

d + h

der feste Wert

100 cm

angesetzt ist, ergibt sich nachfolgende Bedingung für die Höhe.

d + h = 100

Bedingung nach

h

auflösen:

h = 100 - d

Einsetzen in die Volumenformel:

V (d) = \frac{1}{4} π d^{2} (100 - d) = π \cdot (25 d^{2} - \frac{1}{4} d^{3})

Definitionsbereich bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Für die Größe

d

gibt es folgende Bedingungen, die alle erfüllt sein müssen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

d

und

h

müssen beide positiv sein, da sie Durchmesser und Höhe eines realen Zylinders darstellen.

$d > 0$

$h > 0$

$\Leftrightarrow$ $100 - d > 0$

$\Leftrightarrow$ $d < 100$

Beide Bedingungen müssen erfüllte sein.

\Rightarrow

0 < d < 100

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, kann

d

nur Werte zwischen

0

und

100

annehmen.
Die Ränder sind ausgeschlossen, da für

d = 0

bzw.

h = 0

kein Zylinder entstehen kann.
Es folgt also für die Definitionsmenge:

D_{V} =] 0; 100 [

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Zylinders

Definitionsbereich bestimmen

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