Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (2 BE)

Begründen Sie (z.B. mit Hilfe von Aufgabe 1.1), für welchen Wert

k_{0}

der zugehörige Graph einen Terrassenpunkt besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Terrassenpunkt (Sattelpunkt) ermitteln

f_{k} (x) = x \cdot (\frac{x^{2}}{k} - k - 1)

f_{- 1} (x) = - x^{3}

hat bei

x_{1}^{N} = 0

eine dreifache Nullstelle (siehe Aufgabe 1.1)

Es gilt also

f_{- 1} (0) = f_{- 1}^{'} (0) = f_{- 1}^{''} (0) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Terrassenpunkt/Sattelpunkt

Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Für Stellen mit waagerechter Tangente gilt:

f^{'} (x) = 0

Für Wendestellen gilt:

f^{''} (x) = 0

und

f^{'''} (x) \neq 0

Für Terrassenpunkte gelten somit beide Bedinungen:

f_{- 1}^{'} (0) = f_{- 1}^{''} (0) = 0

und

f^{'''} (x) \neq 0

f^{'''} (x) \neq 0

(sonst wäre

x_{1}^{N} = 0

eine vierfache Nullstelle) hat

f_{- 1}

bei

x_{1}^{N} = 0

einen Terrassenpunkt.

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Themen dieser Aufgabe:

Terrassenpunkt (Sattelpunkt) ermitteln

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