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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1.1  (8 BE)
Gegeben sind die reellen Funktionen

f k : x ↦ x ⋅ ( x 2 k - k - 1 ) mit k ∈ ℝ ∧ k ≠ 0 und D f k = ℝ .

Der Graph einer solchen Funktion wird mit G f k bezeichnet.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k . Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1.1
Nullstellen einer Funktion



f k ( x ) = x ⋅ ( x 2 k - k - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
f k ( x ) = 0 ⇔ x ⋅ ( x 2 k - k - 1 ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
x = 0

x 1 N = 0

x 2 k - k - 1 = 0

x 2 k = k + 1

x 2 = k ( k + 1 )


Fallunterscheidung:
Schritt einblenden / ausblenden
1. Fall: k ( k + 1 ) < 0 (keine Lösung für x 2 = k ( k + 1 ) )
Schritt einblenden / ausblenden
k > 0 ∧ k + 1 < 0 oder k < 0 ∧ k + 1 > 0

⇔ k > 0 ∧ k < - 1 oder k < 0 ∧ k > - 1

Veranschaulichung der Bedingungen an einem Zahlenstrahl:

k > 0 ∧ k < - 1 nicht möglich (keine Überschneidung)

k < 0 ∧ k > - 1 für k ∈ ] - 1 ; 0 [

⇒ Für k ∈ ] - 1 ; 0 [ ist x 1 N = 0 einfache Nullstelle.
2. Fall: k ( k + 1 ) = 0 (genau eine Lösung für x 2 = k ( k + 1 ) )
Schritt einblenden / ausblenden
k = 0 oder k + 1 = 0

k = 0 nicht möglich, da laut Angabe k ≠ 0

k + 1 = 0 ⇒ k = - 1
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ Für k = - 1 hat f - 1 ( x ) = x ⋅ ( x 2 - 1 - ( - 1 ) - 1 ) = - x 3 eine dreifache Nullstelle bei x 1 N = 0 .
3. Fall: k ( k + 1 ) > 0 (genau zwei Lösung für x 2 = k ( k + 1 ) )

Schritt einblenden / ausblenden
k > 0 ∧ k + 1 > 0 oder k < 0 ∧ k + 1 < 0

⇔ k > 0 ∧ k > - 1 oder k < 0 ∧ k < - 1

Veranschaulichung der Bedingungen an einem Zahlenstrahl:

k > 0 ∧ k > - 1 für k ∈ ] 0 ; ∞ [

k < 0 ∧ k < - 1 für k ∈ ] - ∞ ; - 1 [

⇒ für k ∈ ] - ∞ ; - 1 [ ∪ ] 0 ; ∞ [ hat f k drei Nullstellen

⇒ x 1 N = 0 ist einfache Nullstelle

x 2 N = k ( k + 1 ) ist einfache Nullstelle

x 3 N = - k ( k + 1 ) ist einfache Nullstelle
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Nullstellen einer Funktion
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