Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.1 (6 BE)

Nun sei

k = 3

. Man erhält die Funktion

f_{3}

mit

f_{3} (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x

Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion

f_{3}

echt monoton zunimmt bzw. abnimmt. Bestimmen Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen.

Lösung zu Teilaufgabe 2.1

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{3} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x

Erste Ableitung bilden:

f_{3}^{'} (x) = x^{2} - 4

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

f^{'} (x) > 0 :

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0 :

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0

x^{2} - 4 < 0

x^{2} - 4

kann als nach oben geöffnete Parabel angesehen werden mit den Nullstellen

2

und

- 2

f^{'} (x) < 0

für

- 2 < x < 2

f^{'} (x) > 0

für

x < - 2

und für

x > 2

\Rightarrow

f_{3}

ist streng monoton fallend für

x \in] - 2; 2 [

f_{3}

ist streng monoton steigend für

x \in] - \infty; - 2 [

\cup

] 2; \infty [

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{3}^{'} (x) = x^{2} - 4

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f^{'} (x) = 0

x^{2} - 4 = 0

x_{1}^{E} = 2

x_{2}^{E} = - 2

Funktionswerte an den Extremstellen bestimmen:

f (x_{1}^{E}) = \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2 = - \frac{16}{3}

\Rightarrow

E_{1} (2 | - \frac{16}{3})

f (x_{2}^{E}) = \frac{1}{3} \cdot (- 2)^{3} - 4 \cdot (- 2) = \frac{16}{3}

\Rightarrow

E_{2} (- 2 | \frac{16}{3})

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Art der Extrempunkte aus dem Monotonieverhalten bestimmen:

f_{3}

ist streng monoton fallend für

x \in] - 2; 2 [

f_{3}

ist streng monoton steigend für

x \in] - \infty; - 2 [

\cup

] 2; \infty [

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts wird durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

f^{'}

hat an der Stelle

x_{1}^{E} = 2

einen Vorzeichenwechsel von

(-)

nach

(+)

\Rightarrow

relativer Tiefpunkt

T P (2 | - \frac{16}{3})

f^{'}

hat an der Stelle

x_{2}^{E} = - 2

einen Vorzeichenwechsel von

(+)

nach

(-)

\Rightarrow

relativer Hochpunkt

H O P (- 2 | \frac{16}{3})

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Teilaufgabe 3.2

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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