Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1d (6 BE)

G_{f}

und die

x

-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade

g

in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1d

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die der Graph

G_{f}

und die x-Achse im IV.Quadranten einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = | \int_{0}^{2} f_{(} x) dx |

(Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, hat das bestimmte Integral einen negativen Wert und wird deswegen bei der Flächenberechnung im Betrag genommen.)

A_{0} = | \int_{0}^{2} f (x) dx |

A_{0} = | \int_{0}^{2} (x^{4} - 2 x^{3}) dx |

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Rechenregeln für Integrale

Stammfunktion

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

x^{4} - 2 x^{3}

(siehe auch Merkhilfe Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (x^{4} - 2 x^{3}) dx = \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} - 2 \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2}

A_{0} = | {[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4}]}_{0}^{2} |

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A_{0} = | (\frac{32}{5} - 8 - 0) | = \frac{8}{5} = 1, 6

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Der Inhalt eines Flächenstücks zwischen zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

ist gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

.

Da nur zwei Schnittpunkte vorhanden sind, kann der innere Betrag weggelassen werden.

Vorsicht: kommt insgesamt beim Integral ein negativer Wert heraus, muss nur das Integral in Betrag gesetzt werden.

A_{1} = | \int_{1}^{2} (f (x) - g (x)) dx |

A_{1} = | \int_{1}^{2} (x^{4} - 2 x^{3} - (x - 2)) dx | = | \int_{1}^{2} (x^{4} - 2 x^{3} - x + 2) dx |

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Rechenregeln für Integrale

Stammfunktion

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

x^{4} - 2 x^{3} - x + 2

(siehe auch Merkhilfe Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (x^{4} - 2 x^{3} - x + 2) dx = \frac{x^{4 + 1}}{4 + 1} - 2 \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} - \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 2 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1}

\int (x^{4} - 2 x^{3} - x + 2) dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x

A_{1} = | {[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{2} |

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A_{1} = | (\frac{32}{5} - 8 - 2 + 4) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2) | = \frac{4}{5} = 0, 8

A_{2} = A_{0} - A_{1} = 0, 8

Verhältnis:

\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{0, 8}{0, 8} = 1

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Flächenberechnung

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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