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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1b  (4 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ im Schnittpunkt von ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1b

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schnittpunkt mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse:

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Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0}$

Die Gleichung muss anschließend nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aufgelöst werden.

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)=0}$ ${\displaystyle |}$ ${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

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Rechenweg

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3)}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3=1}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3=1}$

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=-1}$

Tangentengleichung ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Tangentengleichung ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Punkt ${\displaystyle (-1|0)}$

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Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\cdot {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$

Hier ist ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=-1}$.

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)\cdot {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)+\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\right)\cdot {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(-1\right)+\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(-1\right)}$


Nebenrechnungen:

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-1)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1=0}$

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))\cdot {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$


Formel für Logarithmusfunktionen:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{1}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}\cdot {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Hier ist ${\displaystyle \mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3}$.
Dann ist ${\displaystyle {\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=2}$.

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{2}{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+3}}$

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(-1)=2}$


${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}$

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