Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 4 (4 BE)

Gegeben ist die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

f_{a} : x \mapsto x e^{a x}

mit

a \in ℝ ∖ {0}

. Ermitteln Sie, für welchen Wert von

a

die erste Ableitung von

f_{a}

an der Stelle

x = 2

den Wert

0

besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 4

Parameterwerte ermitteln

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Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Produktregel der Differenzialrechnung

Kettenregel der Differenzialrechnung

Produktregel:

f (x) = u (x) \cdot v (x)

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)

In diesem Fall ist

u (x) = x

und

v (x) = e^{a x}

.

Kettenregel für Exponentialfunktionen:

v (x) = e^{g (x)}

\Rightarrow

v^{'} (x) = e^{g (x)} \cdot g^{'} (x)

In diesem Fall ist

g (x) = a x

f_{a}^{'} (x) = 1 \cdot e^{a x} + x \cdot e^{a x} \cdot a

f_{a}^{'} (x) = e^{a x} \cdot (1 + a x)

Es muss gelten:

f_{a}^{'} (2) = 0

Parameter

a

bestimmen:

f_{a}^{'} (2) = e^{2 a} \cdot (1 + 2 a)

0 = e^{2 a} \cdot (1 + 2 a)

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

e^{a x} \neq 0

für alle

x \in ℝ

, muss nur der Term

1 + 2 a

untersucht werden.

1 + 2 a = 0

\Rightarrow

a = - \frac{1}{2}

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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