Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (4 BE)

Der Graph

G_{f}

einer in

ℝ

definierten Funktion

f : x \mapsto a x^{4} + b x^{3}

mit

a, b \in ℝ

besitzt im Punkt

O (0 | 0)

einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

W (1 | - 1)

ist ein weiterer Wendepunkt von

G_{f}

. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von

a

und

b

.

(Ergebnis:

a = 1

b = - 2

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

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f (x) = a x^{4} + b x^{3}

Ableitungen bilden:

f^{'} (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2}

f^{''} (x) = 12 a x^{2} + 6 b x

W (1 | - 1)

ist Wendepunkt von

G_{f}

, also gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Der Graph

G_{f}

verläuft durch den Punkt

W

. Sein Koordinaten müssen die Funktionsgleichung erfüllen.

f (1) = - 1

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt an der Stelle

x^{W}

erfüllt sein:

f^{''} (x^{W}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{''} (x) = 0

f^{''} (1) = 0

Einsetzen und LGS lösen:

\begin{matrix} 1. & a + b & = & - 1 \\ 2. & 12 a + 6 b & = & 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \Rightarrow \end{matrix}

\begin{matrix} b & = & - 2 a \end{matrix}

b = - 2 a

in 1. einsetzen:

a - 2 a = - 1

\Rightarrow

a = 1

a = 1

b = - 2 a

einsetzen:

b = - 2

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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