Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1e (6 BE)

Die Ursprungsgerade

h

mit der Gleichung

y = \frac{2}{e^{2}} \cdot x

schließt mit

G_{f}

für

x \geq 0

ein Flächenstück mit dem Inhalt

B

vollständig ein.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden

h

mit

G_{f}

und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie

B

.

(Teilergebnis: x-Koordinate eines Schnittpunkts: 2)

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1e

Schnittpunkt zweier Funktionen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}}

;

h (x) = \frac{2}{e^{2}} \cdot x = 2 e^{- 2} \cdot x

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

f (x) = h (x)

2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} = 2 e^{- 2} \cdot x

|

- 2 e^{- 2} \cdot x

2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} - 2 e^{- 2} \cdot x = 0

2 x \cdot (e^{- 0, 5 x^{2}} - e^{- 2}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

2 x = 0

\Rightarrow

x_{1} = 0

e^{- 0, 5 x^{2}} - e^{- 2} = 0

|

+ e^{- 2}

e^{- 0, 5 x^{2}} = e^{- 2}

- 0, 5 x^{2} = - 2

x^{2} = 4

\Rightarrow

x_{2, 3} = \pm 2

Skizze

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Flächeninhalt

B

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche, die

G_{f}

mit der Geraden

h

für

x \geq 0

einschließt, ist gleich der Fläche, die

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt, minus die Fläche, die

G_{h}

mit der

x

-Achse einschließt.

Man berechnet also das bestimmte Integral von

f (x) - h (x)

.

Die Integrationsgrenzen sind

0

und

2

, die

x

-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen

G_{f}

und

G_{h}

für

x \geq 0

B = \int_{0}^{2} [f (x) - h (x)] dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Die Stammfunktion

- 2 e^{- 0, 5 x^{2}}

von

f (x)

wurde in Teil 2 Teilaufgabe 1d bereits bestimmt.

B = {[- 2 e^{- 0, 5 x^{2}} - 2 e^{- 2} \cdot \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

B = (- 2 e^{- 2} - 4 e^{- 2}) - (- 2 - 0)

B = 2 - 6 e^{- 2}

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus Teil 2 Teilaufgabe 1d ist bekannt:

A (u)

=

2 - 2 e^{- 0, 5 u^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

B

ist gleich

A (2)

(also

A

für

u = 2

) minus dem Flächeninhalt des Dreiecks (rot) mit Basis

2

und Höhe

h (2) = 4 e^{- 2}

B = A (2) - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 e^{- 2}

B = 2 - 2 e^{- 2} - 4 e^{- 2}

B = 2 - 6 e^{- 2}

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1a

Teilaufgabe Teil 1 1b

Teilaufgabe Teil 1 2a

Teilaufgabe Teil 1 2b

Teilaufgabe Teil 1 3

Teilaufgabe Teil 1 4

Teilaufgabe Teil 2 1a

Teilaufgabe Teil 2 1b

Teilaufgabe Teil 2 1c

Teilaufgabe Teil 2 1d

Teilaufgabe Teil 2 1e

Teilaufgabe Teil 2 2a

Teilaufgabe Teil 2 2b

Teilaufgabe Teil 2 2c

Teilaufgabe Teil 2 3a

Teilaufgabe Teil 2 3b

Teilaufgabe Teil 2 3c

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkt zweier Funktionen

Skizze

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Alternative Lösung

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!