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Teilaufgabe Teil 2 3b

Teilaufgabe Teil 2 3c

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Themen dieser Aufgabe:

Schnittpunkt zweier Funktionen

Skizze

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1e  (6 BE)

Die Ursprungsgerade ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der Gleichung ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{2}{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ schließt mit ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0}$ ein Flächenstück mit dem Inhalt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ vollständig ein.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

(Teilergebnis: x-Koordinate eines Schnittpunkts: 2)

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1e

Lösung als Video

Schnittpunkt zweier Funktionen

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${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$; ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{2}{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

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Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar ${\displaystyle (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf.

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}=2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle |}$ ${\displaystyle -2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left({\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\right)=0}$

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Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ und/oder ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

${\displaystyle 2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=0}$



${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}=0}$ ${\displaystyle |}$ ${\displaystyle +{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

${\displaystyle -0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=-2}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=4}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{2,3}=\pm 2}$

Skizze

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Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Flächeninhalt ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen:

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Bestimmtes Integral

Die Fläche, die ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der Geraden ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0}$ einschließt, ist gleich der Fläche, die ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse einschließt, minus die Fläche, die ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Achse einschließt.

Man berechnet also das bestimmte Integral von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$.

Die Integrationsgrenzen sind ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 2}$, die ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0}$ .

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\right]\text{dx}}$

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Stammfunktion

Die Stammfunktion ${\displaystyle -2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$ von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ wurde in Teil 2 Teilaufgabe 1d bereits bestimmt.

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\cdot \frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{2}\right]}_0^2}$

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist ${\displaystyle \mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, so gilt:

${\displaystyle \underset{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\overset{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left[\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\right]}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}-4{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}\right)-\left(-2-0\right)}$

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2-6{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

Alternative Lösung

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Aus Teil 2 Teilaufgabe 1d ist bekannt: ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-0,5{\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

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${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist gleich ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2)}$ (also ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ für ${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$) minus dem Flächeninhalt des Dreiecks (rot) mit Basis ${\displaystyle 2}$ und Höhe ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2)=4{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$.

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2)-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2-2{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}-4{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2-6{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-2}}$

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