Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1a (2 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f : x \mapsto 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}}

. Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Weisen Sie rechnerisch nach, dass

G_{f}

punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von

f

plausibel, dass

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

gilt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1a

Symmetrieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Man ermittelt zunächst

f (- x)

und vergleicht dann. Es gilt:

G_{f}

ist achsensymmetrisch zur

y

-Achse, wenn gilt:

f (- x) = f (x)

G_{f}

ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:

f (- x) = - f (x)

\begin{matrix} f (- x) & = & 2 \cdot (- x) \cdot e^{- 0, 5 (- x)^{2}} \\ = & - 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} \\ = & - f (x) \end{matrix}

\Rightarrow

G_{f}

ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung

Grenzwert bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} \underset{x \to \infty}{\underset{︸}{2 x}} \cdot \underset{x \to 0}{\underset{︸}{e^{- 0, 5 x^{2}}}}

Schritt einblenden / ausblenden

Grenzwert

Der Ausdruck "

0 \cdot \infty

" bzw. "

\infty \cdot 0

" ist unbestimmt, d.h. es kann keine Aussage über das Grenzverhalten der Funktion getroffen werden.

Durch umformen des Produkts in einen Bruch, wird das Grenzverhalten auf das einer bekannten Funktion zurückgeführt.

Aus der Merkhilfe für das G8 Abitur:

lim_{x \to \infty} \frac{x^{r}}{e^{x}} = 0

(r > 0)

= lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{0, 5 x^{2}}} = 0

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Da die e-Funktion schneller wächst als die Funktion

2 x

, kann letztere bei der Grenzwertbildung vernachlässigt werden:

lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} \frac{1}{\underset{\to \infty}{\underset{︸}{e^{0, 5 x^{2}}}}} = 0

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrieverhalten einer Funktion

Grenzwert bestimmen

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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