Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 1 4 (6 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

einer in

ℝ

definierten Funktion

f

.
Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in

ℝ

definierten Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{1}^{x} f (t) dt

. Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von

F

sowie

F (0)

Lösung zu Teilaufgabe Teil 1 4

Eigenschaften der Integralfunktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Nullstellen von

F

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Integralfunktion

Jede Integralfunktion

I_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) dt

hat mindestens eine Nullstelle, da die Integrationsgrenze

a

(Integrationsanfang) stets Nullstelle ist:

I_{a} (a) = \int_{a}^{a} f (t) dt = [F (x)]_{a}^{a} = F (a) - F (a) = 0

Hier also:

\int_{1}^{1} f (t) dt = 0

x_{1}^{N} = 1

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die

y

-Werte der Integralfunktion

F

sind Flächenstücke, welche die Integrandenfunktion

f

mit der

x

-Achse einschließt.

Z.B.:

\int_{1}^{0} f (t) dt

entspricht der Fläche, die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

0

und

1

einschließt. Da der Integrationsweg negativ ist und die Fläche unterhalb der

x

-Achse liegt, ist der Wert des Integrals positiv (blaue schraffierte Fläche im Bild).

Ist

x < 0

, so entspricht

\int_{1}^{x} f (t) dt

der Summe der Flächen, die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

x

und

1

einschließt. Die Fläche zwischen

0

und

1

ist, wie im Beispiel bereits erklärt, positiv. Die Fläche zwischen

x

und 0 ist negativ, da der Integrationsweg negativ ist und die Fläche oberhalb der

x

-Achse liegt (rote schraffierte Fläche im Bild).

Wenn beide Flächen gleichgroß sind, dann hebt sich ihre Summe zu Null auf.

Gesucht ist also der

x

-Wert, für welchen gilt:

\int_{1}^{0} f (t) dt = \int_{0}^{x} f (t) d t

.

In Abbildung 1 ließt man den Wert

x \approx - 1, 1

ab.
(Die Flächeninhalte werden durch Abzählen der Kästchen abgeschätzt.)

x_{2}^{N} \approx - 1, 1

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die

y

-Werte der Integralfunktion

F

sind Flächenstücke, welche die Integrandenfunktion

f

mit der

x

-Achse einschließt.

Z.B.:

\int_{1}^{2, 25} f (t) dt

entspricht der Fläche, die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

1

und dem Schnittpunkt an der Stelle

x \approx 2, 25

einschließt. Da die Fläche unterhalb der

x

-Achse liegt, ist der Wert des Integrals negativ (rote schraffierte Fläche im Bild).

Ist

x > 2, 25

, so entspricht

\int_{1}^{x} f (t) dt

der Summe der Flächen, die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

1

und

x

einschließt. Die Fläche zwischen

1

und

2, 25

ist, wie im Beispiel bereits erklärt, negativ. Die Fläche zwischen

2, 25

und

x

ist positiv, da die Fläche oberhalb der

x

-Achse liegt (blaue schraffierte Fläche im Bild).

Wenn beide Flächen gleichgroß sind, dann hebt sich ihre Summe zu Null auf.

Gesucht ist also der

x

-Wert, für welchen gilt:

\int_{1}^{2, 25} f (t) dt = \int_{2, 25}^{x} f (t) dt

.

In Abbildung 1 ließt man den Wert

x \approx 2, 8

ab.
(Die Flächeninhalte werden durch Abzählen der Kästchen abgeschätzt.)

x_{3}^{N} \approx 2, 8

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral

\int_{1}^{0} f (t) dt

entspricht der Fläche, die

G_{f}

mit der

x

-Achse zwischen

0

und

1

einschließt.

Da der Integrationsweg negativ ist und die Fläche unterhalb der

x

-Achse liegt, ist der Wert des Integrals positiv (blaue schraffierte Fläche im Bild).

Der Flächeninhalt kann durch Abzählen der Kästchen abgeschätzt werden. In diesem Fall sogar durch die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks.

F (0) \approx \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}

Wert von

F

für

x = 0

F (0) \approx \frac{1}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Integralfunktion

Die Extremstellen von

F

entsprechen den Nullstellen von

f

Extremstellen von

F

x = 0

und

x \approx 2, 25

Schritt einblenden / ausblenden

Eigenschaften der Integralfunktion

G_{F}

skizzieren zu können, ist es notwendig den Zusammenhang zwischen

F

und

f

zu kennen:

Daraus ergeben sich weitere Zusammenhänge:

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe Teil 2 1d

Teilaufgabe Teil 2 1e

Teilaufgabe Teil 2 2a

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Teilaufgabe Teil 2 3a

Teilaufgabe Teil 2 3b

Teilaufgabe Teil 2 3c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Eigenschaften der Integralfunktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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