Abitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion

g : x \mapsto \sqrt{3 x + 9}

mit maximaler Definitionsmenge

D

Teilaufgabe Teil 1 1a (3 BE)

Bestimmen Sie

D

und geben Sie die Nullstelle von

g

an.

Teilaufgabe Teil 1 1b (4 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von

g

im Punkt

P (0 | 3)

Geben Sie jeweils den Term einer in

ℝ

definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge

W

hat.

Teilaufgabe Teil 1 2a (2 BE)

W = [2; + \infty [

Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)

W = [- 2; 2]

Teilaufgabe Teil 1 3 (3 BE)

Geben Sie für

x \in ℝ^{+}

die Lösungen der folgenden Gleichung an:

(\ln x - 1) \cdot (e^{x} - 2) \cdot (\frac{1}{x} - 3) = 0

Teilaufgabe Teil 1 4 (6 BE)

Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

einer in

ℝ

definierten Funktion

f

.
Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in

ℝ

definierten Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{1}^{x} f (t) dt

. Berücksichtigen Sie dabei mit jeweils angemessener Genauigkeit insbesondere die Nullstellen und Extremstellen von

F

sowie

F (0)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f : x \mapsto 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}}

. Abbildung 2 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Teilaufgabe Teil 2 1a (2 BE)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass

G_{f}

punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von

f

plausibel, dass

lim_{x \to + \infty} f (x) = 0

gilt.

Teilaufgabe Teil 2 1b (6 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von

G_{f}

(zur Kontrolle: $f^{'} (x) = 2 e^{- 0, 5 x^{2}} \cdot (1 - x^{2})$ ; $y$ -Koordinate des Hochpunkts: $\frac{2}{\sqrt{e}}$ )

Teilaufgabe Teil 2 1c (4 BE)

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate

m_{S}

von

f

im Intervall

[- 0, 5; 0, 5]

sowie die lokale Änderungsrate

m_{T}

von

f

an der Stelle

x = 0

. Berechnen Sie, um wie viel Prozent

m_{S}

von

m_{T}

abweicht.

Teilaufgabe Teil 2 1d (6 BE)

Der Graph von

f

, die

x

-Achse und die Gerade

x = u

mit

u \in ℝ^{+}

schließen für

0 \leq x \leq u

ein Flächenstück mit dem Inhalt

A (u)

ein.
Zeigen Sie, dass

A (u) = 2 - 2 e^{- 0, 5 u^{2}}

gilt. Geben Sie

lim_{u \to + \infty} A (u)

an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Teilaufgabe Teil 2 1e (6 BE)

Die Ursprungsgerade

h

mit der Gleichung

y = \frac{2}{e^{2}} \cdot x

schließt mit

G_{f}

für

x \geq 0

ein Flächenstück mit dem Inhalt

B

vollständig ein.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden

h

mit

G_{f}

und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie

B

.

(Teilergebnis: x-Koordinate eines Schnittpunkts: 2)

Im Folgenden wird die Schar der in

ℝ

definierten Funktionen

g_{c} : x \mapsto f (x) + c

mit

c \in ℝ

betrachtet.

Teilaufgabe Teil 2 2a (2 BE)

Geben Sie in Abhängigkeit von

c

ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von

g_{c}

sowie das Verhalten von

g_{c}

für

x \to + \infty

an.

Teilaufgabe Teil 2 2b (3 BE)

Die Anzahl der Nullstellen von

g_{c}

hängt von

c

ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von

c

an, sodass gilt:

$α)$

g_{c}

hat keine Nullstelle.

$β)$

g_{c}

hat genau eine Nullstelle.

$γ)$

g_{c}

hat genau zwei Nullstellen.

Teilaufgabe Teil 2 2c (2 BE)

Begründen Sie für

c > 0

anhand einer geeigneten Skizze, dass

\int_{0}^{3} g_{c} (x) dx = \int_{0}^{3} f (x) dx + 3 c

gilt.

Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.

Die Funktion

g_{1, 4} : x \mapsto 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} + 1, 4

beschreibt für

x \geq 0

modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist

x

die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h.

x = 1

entspricht dem Jahr 1965) und

g_{1, 4} (x)

die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa

2, 1

erforderlich.

Teilaufgabe Teil 2 3a (4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von

g_{1, 4}

in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens

2, 1

beträgt.

Teilaufgabe Teil 2 3b (2 BE)

Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe Teil 2 3c (3 BE)

Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil 1 1a

Teilaufgabe Teil 1 1b

Teilaufgabe Teil 1 2a

Teilaufgabe Teil 1 2b

Teilaufgabe Teil 1 3

Teilaufgabe Teil 1 4

Teilaufgabe Teil 2 1a

Teilaufgabe Teil 2 1b

Teilaufgabe Teil 2 1c

Teilaufgabe Teil 2 1d

Teilaufgabe Teil 2 1e

Teilaufgabe Teil 2 2a

Teilaufgabe Teil 2 2b

Teilaufgabe Teil 2 2c

Teilaufgabe Teil 2 3a

Teilaufgabe Teil 2 3b

Teilaufgabe Teil 2 3c

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!