Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil 2 1d (6 BE)

Der Graph von

f

, die

x

-Achse und die Gerade

x = u

mit

u \in ℝ^{+}

schließen für

0 \leq x \leq u

ein Flächenstück mit dem Inhalt

A (u)

ein.
Zeigen Sie, dass

A (u) = 2 - 2 e^{- 0, 5 u^{2}}

gilt. Geben Sie

lim_{u \to + \infty} A (u)

an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 1d

Flächenberechnung

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Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f}

mit der x-Achse zwischen

0

und

u

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = \int_{0}^{u} f (x) dx

A (u)

=

\int_{0}^{u} f (x) dx

A (u)

=

\int_{0}^{u} 2 x \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

- 2

wird aus dem Integral ausgeklammert, damit im Integral eine Funktion der Form

g^{'} (x) \cdot e^{g (x)}

stehen bleibt.

\underset{g (x)}{\underset{︸}{(- 0, 5 x^{2})}}^{'} = \underset{g^{'} (x)}{\underset{︸}{- x}}

A (u)

=

- 2 \cdot \int_{0}^{u} (- x) \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

(- x) \cdot e^{- 0, 5 x^{2}}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int g^{'} (x) \cdot e^{g (x)} dx = e^{g (x)} + C

\Rightarrow

\int (- x) \cdot e^{- 0, 5 x^{2}} dx = e^{- 0, 5 x^{2}}

Hier ist

g (x) = - 0, 5 x^{2}

und

g^{'} (x) = - x

A (u)

=

- 2 \cdot {[e^{- 0, 5 x^{2}}]}_{0}^{u}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A (u)

=

- 2 \cdot (e^{- 0, 5 u^{2}} - e^{0})

A (u)

=

- 2 \cdot (e^{- 0, 5 u^{2}} - 1)

A (u)

=

2 - 2 e^{- 0, 5 u^{2}}

Grenzwert bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

lim_{u \to + \infty} A (u) = lim_{u \to + \infty} 2 - 2 \underset{\to 0}{\underset{︸}{e^{- 0, 5 u^{2}}}} = 2

Das sich ins Unendliche erstreckende Flächenstück hat den Inhalt 2.

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

Grenzwert bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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