Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (6 BE)

Jemand vermutet, dass sich der Anteil der silberfarbigen PKW von bisher

50 %

inzwischen modebedingt erhöht hat (Gegenhypothese). Er möchte dies an Hand von

50

vorbeifahrenden Autos testen.

Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Berechnen Sie den maximalen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem

5

%-Niveau. Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn

30

silberfarbige PKW gezählt werden?

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Signifikanztest

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Nullhypothese

H_{0}

p \leq 0, 5

Gegenhypothese

H_{1}

p > 0, 5

H_{0}

in Worten: höchstens

50 %

der PKW sind silberfarben.

Stichprobenumfang:

n = 50

Signifikanzniveau:

α = 0, 05

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0

;

k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1

;

50]

Schritt einblenden / ausblenden

Nullhypothese

Die Nullhypothese

H_{0} : p \leq 0, 5

bedeutet, dass höchstens

50 %

der PKW silberfarben sind. Somit liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Fehler 1. Art bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn, die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 5}^{50} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 5}^{50} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens

k + 1

Treffer) = 1 - P(weniger als

k + 1

Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z < k + 1)

bzw.

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

1 - P_{0, 5}^{50} (Z \leq k) \leq 0, 05

P_{0, 5}^{50} (Z \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 31

\Rightarrow

bis einschließlich

k = 31

wird die Nullhypothese angenommen.

Entscheidungsregel:

Maximaler Ablehnungsbereich:

\bar{A} = {32; 33; 34; \dots; 50}

Es werden nun

30

silberfarbene PKW gezählt:

30 \in A

\Rightarrow

In diesem Fall wird die Gegenhypothese abgelehnt.

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