Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.3 (6 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. Schraffieren Sie die zu dieser Wahrscheinlichkeit gehörende Fläche im Histogramm von Teilaufgabe 3.2.

Lösung zu Teilaufgabe 3.3

Erwartungswert und Standardabweichung

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E (X) = 2, 48

(siehe Aufgabe 3.1)

Berechnen der Varianz:

Schritt einblenden / ausblenden

Varianz einer Zufallsgröße

Die Varianz einer Zufallsgröße

X

bei

n

möglich eintretenden Ereignissen ist definiert als:

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - E (X))}^{2} \cdot p_{i} = E (X^{2}) - E^{2} (X)

V a r (X) = E (X^{2}) - E^{2} (X)

E (X^{2}) = 1^{2} \cdot 0, 38 + 2^{2} \cdot 0, 17 + 3^{2} \cdot 0, 18 + 4^{2} \cdot 0, 13 + 5^{2} \cdot 0, 14 = 8, 26

E^{2} (X) = 2, 48^{2} = 6, 1504

V a r (X) = E (X^{2}) - E^{2} (X) = 8, 26 - 6, 1504 = 2, 1096

Berechnen der Standardabweichung:

Schritt einblenden / ausblenden

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Die Standardabweichung

σ

einer Zufallsgröße

X

ist definiert als:

σ = \sqrt{V a r (X)}

σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{2, 1096} \approx 1, 45

Die Zufallswerte

X

sollen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

P (| X - E (X) | < σ)

P (E (X) - σ < X < E (X) + σ)

E (X) + σ = 2, 48 + 1, 45 = 3, 93

E (X) - σ = 2, 48 - 1, 45 = 1, 03

\Rightarrow

1, 03 \leq X \leq 3, 93

Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

P (| X - E (X) | < σ) = P (1, 03 \leq X \leq 3, 93)

= P (2 \leq X \leq 3)

= P (X = 2) + P (X = 3)

= 0, 17 + 0, 18 = 0, 35

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert und Standardabweichung

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