Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter

20

Fahrzeugen mehr als

5

aber weniger als

15

Dieselfahrzeuge befinden.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Binomialverteilung

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Interpretation als Bernoulli-Kette:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

n = 20

(

20

Fahrzeuge werden registriert)

p = 0, 45

(Wahrscheinlichkeit für ein Dieselfahrzeug)

5 < k < 15

(mehr als

5

aber weniger als

15

Dieselfahrzeuge sollen sich unter den Registrierten befinden)

P (5 < Z < 15) = P (6 \leq Z \leq 14)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Wenn die Zufallsvariable

Z

zwischen zwei Zahlen

a

und

b

liegen soll, dann gilt:

P (a \leq Z \leq b) = P (Z \leq b) - P (Z \leq a - 1)

"Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze"

= P_{0, 45}^{20} (Z \leq 14) - P_{0, 45}^{20} (Z \leq 5) \overset{T W}{=} 0, 99357 - 0, 05533 = 0, 93824

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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