Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.1 (3 BE)

An einer Tankstelle werden die Fahrzeuge in der Reihenfolge ihres Eintreffens bezüglich der Motorart registriert. Untersuchungen zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Dieselfahrzeugs

0, 45

und für das Eintreffen eines Benzinfahrzeugs

0, 55

beträgt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse auf vier Nachkommastellen:

E_{3}

: „Von

12

Fahrzeugen sind genau die ersten

6

Dieselfahrzeuge."

E_{4}

: „Unter

12

Fahrzeugen sind genau

5

Benzinfahrzeuge."

Lösung zu Teilaufgabe 2.1

Binomialverteilung

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E_{3}

: „Von

12

Fahrzeugen sind genau die ersten

6

Dieselfahrzeuge."

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die ersten

6

Fahrzeuge haben einen Dieselmotor:

0, 45^{6}

Die Fahrzeuge

7

bis

12

haben einen Benzinmotor:

(1 - 0, 45)^{6} = 0, 55^{6}

P (E_{3}) = 0, 45^{6} \cdot 0, 55^{6} \approx 0, 0002

E_{4}

: „Unter

12

Fahrzeugen sind genau

5

Benzinfahrzeuge."

Interpretation als Bernoulli-Kette:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

E_{4}

: „Unter

12

Fahrzeugen sind genau

5

Benzinfahrzeuge."

n = 12

(

12

Fahrzeuge werden registriert)

p = 0, 55

(Wahrscheinlichkeit für ein Benzinfahrzeug)

k = 5

(

5

Benzinfahrzeuge sollen sich unter den Registrierten befinden)

P (E_{4}) = P_{0, 55}^{12} (Z = 5) = (\binom{12}{5}) \cdot 0, 55^{5} \cdot 0, 45^{7} \approx 0, 1489

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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