Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.2 (5 BE)

Bestimmen Sie nun denjenigen Wert von

a

, für den das Volumen

V

des Quaders sein absolutes Maximum annimmt. Berechnen Sie auch das maximale Volumen.

Lösung zu Teilaufgabe 4.2

Extremwertaufgabe

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V (a) = 36 a^{2} - 6 a^{3}

;

D_{V} =] 0; 6 [

Erste und zweite Ableitung bilden:

V^{'} (a) = 72 a - 18 a^{2}

V^{''} (a) = 72 - 36 a

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

Erste Ableitung gleich Null setzen:

V^{'} (a) = 0

72 a - 18 a^{2} = 0

a \cdot (72 - 18 a) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

a_{1} = 0 \notin D_{V}

72 - 18 a = 0

\Rightarrow

a_{2} = 4 \in D_{V}

V (4) = 36 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4^{3} = 192

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen relativen Tiefpunkt (Minimum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen relativen Hochpunkt (Maximum).

V^{''} (4) = 72 - 36 \cdot 4 = - 72 < 0

\Rightarrow

rel. Maximum

(4 | 192)

Randbetrachtung:

Schritt einblenden / ausblenden

Randbetrachtung

Bei Extremwertaufgaben ist der Definitionsbereich einer Funktion oft aufgrund realer Bedingungen eingeschränkt.

Die Funktionswerte können an den Rändern des Definitionsbereichs größer sein als das relative Maximum. Dies muss überprüft werden.

Beispiel:

Diese Funktion hat zwar ein relatives Maximum im Punkt

H O P (1 | 4)

, dies ist jedoch nicht der größte Wert, den die Funktion im gesamten Definitionsbereich annehmen kann.
Bei

(5 | 6)

gibt es am Rand des Definitionsbereichs damit noch einen größeren Wert. Dies wäre dann hier das globale Maximum.

\begin{matrix} lim_{a \to 0^{+}} 36 a^{2} - 6 a^{3} & = & 0 \\ lim_{a \to 6^{-}} 36 a^{2} - 6 a^{3} & = & 0 \end{matrix}} < 192

\Rightarrow

abs. Maximum

(4 | 192)

Max. Volumen:

V (4) = 192

Alternative Lösung

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Alternative zur Randbetrachtung:

a = 4

ist einzige Nullstellen von

V^{'}

im Definitionsbereich, d.h. keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens in

D

\Rightarrow

rel. Maximum ist abs. Maximum

a = 4

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Extremwertaufgabe

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