Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.4 (5 BE)

Der Graph der Funktion

f_{2}

schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine vollständig im III. Quadranten liegende Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.

Lösung zu Teilaufgabe 2.4

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{f_{2}}

mit der

x

-Achse zwischen

- 2

und

0

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

\int_{- 2}^{0} f_{2} (x) dx

Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des Integral negativ.

\int_{- 2}^{0} f_{2} (x) dx = \int_{- 2}^{0} (- \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 4) dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

- \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 4

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\Rightarrow

\int (- \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 4) dx = - \frac{1}{2} \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + 2 \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} - 4 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1}

\int_{- 2}^{0} f_{2} (x) dx = {[- \frac{1}{8} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 4 x]}_{- 2}^{0}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

\int_{- 2}^{0} f_{2} (x) dx = 0 - (- \frac{1}{8} \cdot (- 2)^{4} + \frac{1}{3} \cdot (- 2)^{3} + (- 2)^{2} - 4 \cdot (- 2)) = - \frac{22}{3}

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\Rightarrow

A = \frac{22}{3}

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Themen dieser Aufgabe:

Flächenberechnung

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